Bài toán [huymit_95]
Cho các biến $a,b,c$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)\# 0$ và các tham số $n,n>0$ và $m\ge n$. Tìm GTNN của P theo $m,n$ :
$$P=\dfrac{(ma-nb)^2}{(a+b)^2}+\dfrac{(mb-nc)^2}{(b+c)^2}+\dfrac{(mc-na)^2}{(c+a)^2}$$
Tớ thử nhé, nhưng mới chỉ trong TH $a,b,c \geq 0$ thôi. Đặt $m=n+k$ với $k \ge 0$, viết lại BĐT
$$P=\sum \frac{(ka+na-nb)^2}{(a+b)^2}=\sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}+\sum \frac{n^2(a-b)^2}{(a+b)^2}\geq \sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}$$
Sử dụng BĐT quen thuộc $$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{3}{4}$$
Chứng minh:
Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1$, ta cần chứng minh $$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$$
Dễ thấy $$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy(x-y)^2+(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geq 0$$
$$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$
$$\Rightarrow P\geq \sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3k^2}{4}=\frac{3(m-n)^2}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 08-07-2012 - 08:18