Chủ đề này có 4 trả lời

[ducthinh26032011]

Tặng bạn nguyenta98:
Bài 1: Cho $n> 3$($n\in N$)
C/m:Nếu $2^{n}=10a+b (0< b< 9)$ thì $ab\vdots 6$
Bài 2: Chứng minh rằng nếu $x;y;z\in Z$ thỏa $(100x+10y+z)\vdots 21$ thì $(x-2y+4z)\vdots 21$
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau:
Tập hợp {$n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$} có thể chia thành hai tập hợp con sao cho tích của tập hợp con này bằng tích các phần tử các phần tự của tập hợp con kia.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 08-07-2012 - 20:30

[nthoangcute]

Bài 2: Chứng minh rằng nếu $x;y;z\in Z$ thỏa $(100x+10y+z)\vdots 21$ thì $(x-2y+4z)\vdots 21$

Bài dễ nhất !!!
Ta có:
$(100x+10y+z)+5(x-2y+4z)=21(5x-y+z) \; \vdots \;21$
Mà $(100x+10y+z)\vdots 21$ suy ra $(x-2y+4z)\vdots 21$

[nguyenta98]

Tặng bạn nguyenta98:
Bài 1: Cho $n> 3$($n\in N$)
C/m:Nếu $2^{n}=10a+b (0<b< 9)$ thì $ab\vdots 6$
Bài 2: Chứng minh rằng nếu $x;y;z\in Z$ thỏa $(100x+10y+z)\vdots 21$ thì $(x-2y+4z)\vdots 21$
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau:
Tập hợp {$n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$} có thể chia thành hai tập hợp con sao cho tích của tập hợp con này bằng tích các phần tử các phần tự của tập hợp con kia.

Bạn đã tặng thì mình không từ chối
Bài 1: $2^n=10a+b \Rightarrow b$ chẵn nên $ab \vdots 2$
Ta thấy $2^n \equiv 1 ,2 \pmod{3}$
Đặt $b=2t \Rightarrow 2^{n-1}=5a+t$ và cần cm $at \vdots 3$ suy ra $0<t<5$
Xét $n-1=4k,4k+1,4k+2,4k+3$
Nếu $n-1=4k \Rightarrow 2^{4k} \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow t \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow t=1$
Mặt khác $2^{4k} \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 5a \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a \vdots 3$ nên $at \vdots 3$ Q.E.D
Nếu $n-1=4k+1,4k+2.4k+3$ tương tự chú ý ta đan xen modular $3$ và $5$ cho khéo léo

Bài 3: Đây là một tập sắp thứ tự, khi chia làm hai nhóm thì có khả năng về số phần tử của mỗi nhóm là $(1,5),(2,4),(3,3)$
Gọi hai nhóm là $A.B$ và $(A,B)=(1,5),(2,4),(3,3)$
TH1: $(A,B)=(1,5)$ suy ra $A=n+5$
Nhưng do $n$ nguyên dương nên dễ dàng cm $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)>(n+5)$
TH2: $(A,B)=(3,3)$
Nếu $(n+5),(n+4)$ cùng nhóm, giả sử là $A$ thì ắt số còn lại của $A$ phải là $n$
Khi đó $(n+5)(n+4)n=(n+1)(n+2)(n+3)$
$\Leftrightarrow 3n^2+9n-6=0$ vô nghiệm nguyên
Nếu $(n+5),(n+4)$ không cùng nhóm giả sử $n+5 \in A$ và $n+4 \in B$
Gọi hai số còn lại của $A$ là $x,y$ và $B$ là $a,b$ suy ra $xy<ab$ với $(x,y,a,b) \in n,n+1,n+2,n+3$ đến đây dễ rồi
TH3: $(A,B)=(2,4)$ th này dành cho bạn đọc tự xét nó dễ hơn nhiều $(3,3)$ vì khi lượng hai số của hai nhóm cân bằng thì việc chặn khó khăn hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-07-2012 - 21:24

[minhhieu070298vn]

Mình giải bài 1 kiểu này trông đơn giản hơn:

Có $2^n=10a+b\Rightarrow 2^n=\overline{ab}$
Vì $n>3, n\epsilon N$ nên$n\geq 4$
$\Rightarrow \overline{ab}\vdots 16$$\Rightarrow b=6$$\Rightarrow ab\vdots 6$

@nguyenta98: Có lẽ bạn nhầm do $a$ có là chữ số đâu mà $10a+b=\overline{ab}$???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-07-2012 - 21:25

[ninhxa]

Tặng bạn nguyenta98:

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau:
Tập hợp {$n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$} có thể chia thành hai tập hợp con sao cho tích của tập hợp con này bằng tích các phần tử các phần tự của tập hợp con kia.

-Giả sử tồn tại A và B lần lượt là tích của 2 tập con chia được
$\Rightarrow A^2=A.B=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$
-Vì các số trên là 5 số nguyên liên tiếp nên t có 2 trường hợp sau
+Xét trường hợp 1: 6 số trên ko có số nào chia hết cho 7
$\Rightarrow A^2\equiv 1.2.3.4.5.6\equiv 6(mod7)$ (vô lý)
+Xét trường hợp 2: 6 trên có 1 số chia hết cho 7
$\Rightarrow A^2$ chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 49 (vô lý)
-Do vậy ko tồn tại cách xếp thỏa mãn
@nguyenta98: Sai bạn nhé, biết đâu có một số chia hết cho $49$ luôn thì sao hả bạn nhưng dù sao đây cũng là một ý tưởng hay
@ninhxa: liệu cách trên có sai ko? Hay chỉ là bế tắc trong khâu xử lý. Dễ hơn nếu là 4,8 số tự nhiên liên tiếp. +_+

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 09-07-2012 - 10:15