Em viết lại đề bài thế này ch0 đơn giản ạ.Nhìn $^{-2}$ mà ghê :-ss
Viết lại cái $^{-2}$ và biến đổi tương đương ta có:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{27a^2b^2c^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}\geq \frac{1}{3}[(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a})^2]$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{3}[(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a})^2]\geq \frac{27a^2b^2c^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{3}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc})\geq \frac{27a^2b^2c^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geq \frac{81a^2b^2c^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9abc}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$
Nhưng do $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$ và the0 $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=\frac{9abc}{abc(a+b+c)}\geq \frac{9abc}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
Vậy phép chứng minh hoàn tất.Dâu = xảy ra khi $a=b=c$
Bài này vẻ không chặt lắm.Mình có thể thay số $\frac{1}{3}$ thành số khác để bài toán trở nên khó hơn được không ạ anh?
