7 replies to this topic

[caovannct]

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$,
Đây là đề bài IMO 1998. Ngoài lời giải thông trong đáp án, ai có lời giải nào hay chỉ anh em tham khảo với nhé

[triethuynhmath]

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$,
Đây là đề bài IMO 1998. Ngoài lời giải thông trong đáp án, ai có lời giải nào hay chỉ anh em tham khảo với nhé

Dù đây là 1 bài BĐT thi IMO nhưng nó cũng khá nhẹ nhàng nhỉ ,em xin đóng góp trước 1 cách(Cách của THCS):
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số,ta được
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}$
Áp dụng tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được :
$\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\sum \frac{1+a}{4}=\frac{2(a+b+c)-3}{4}\geq \frac{2.3\sqrt[3]{abc}-3}{4}$
$=\frac{3}{4}$.(Do abc=1)

Edited by triethuynhmath, 13-07-2012 - 23:26.

[Ispectorgadget]

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$,

$$\sum \frac{a^4}{a(1+b)(1+c)}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c+2(ab+bc+ac)+3}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)}\ge \frac{3}{4}$$

Edited by Ispectorgadget, 14-07-2012 - 12:28.

[caovannct]

$$\sum \frac{a^4}{a(1+b)(1+c)}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c+2(ab+bc+ac)+3}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)}\ge \frac{3}{4}$$

Bạn có thể viết rõ đánh giá biểu thức dưới mẫu đc ko?

[Ispectorgadget]

Bạn có thể viết rõ đánh giá biểu thức dưới mẫu đc ko?

Sử dụng những BĐT quen thuộc sau
$x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz$
$x^2+y^2+z^2\ge 3$
$x^2+y^2+z^2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{3}\ge x+y+z$

[caovannct]

Dù đây là 1 bài BĐT thi IMO nhưng nó cũng khá nhẹ nhàng nhỉ ,em xin đóng góp trước 1 cách(Cách của THCS):
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số,ta được
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}$
Áp dụng tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được :
$\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\sum \frac{1+a}{4}=\frac{2(a+b+c)-3}{4}\geq \frac{2.3\sqrt[3]{abc}-3}{4}$
$=\frac{3}{4}$.(Do abc=1)

Mình biết cách giải này. Nhưng cho mình hỏi vì sao bạn lại nghĩ ra được cộng thêm hai lượng đó vao?
mình đang cần tìm lí do đó. Cảm ơn bạn trước nhé

[triethuynhmath]

Mình biết cách giải này. Nhưng cho mình hỏi vì sao bạn lại nghĩ ra được cộng thêm hai lượng đó vao?
mình đang cần tìm lí do đó. Cảm ơn bạn trước nhé

Thật sự thì mình cũng may mắn mà nghĩ ra được thôi.Mình thấy $a^3$ nên nghĩ đến cauchy 3 số.Và phải tìm 2 lượng phù hợp để triệt tiêu mẫu vì mẫu quá phức tạp.Vậy chắc chắn 2 lượng đó phải có dạng $x(1+b)$ , $y(1+c)$.
Nhẩm thấy điểm rơi là $a=b=c=1$,cộng với việc sử dụng cauchy 3 số,ta có dấu = xảy ra khi:
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}=x(1+b)=y(1+c)$.Thay $a=b=c=1$ vào,tính ra được $x=y=\frac{1}{8}$
Trên đây chỉ là một vài suy nghĩ của mình,bạn tham khảo nhé!!!

Edited by triethuynhmath, 16-07-2012 - 00:21.

[caovannct]

Thật sự thì mình cũng may mắn mà nghĩ ra được thôi.Mình thấy $a^3$ nên nghĩ đến cauchy 3 số.Và phải tìm 2 lượng phù hợp để triệt tiêu mẫu vì mẫu quá phức tạp.Vậy chắc chắn 2 lượng đó phải có dạng $x(1+b)$ , $y(1+c)$.
Nhẩm thấy điểm rơi là $a=b=c=1$,cộng với việc sử dụng cauchy 3 số,ta có dấu = xảy ra khi:
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}=x(1+b)=y(1+c)$.Thay $a=b=c=1$ vào,tính ra được $x=y=\frac{1}{8}$
Trên đây chỉ là một vài suy nghĩ của mình,bạn tham khảo nhé!!!

mình cũng nghĩ như vậy. tưởng bạn có phép suy luận độc đáo hơn để mình tham khảo. Dù sao cũng cảm ơn bạn nhiều! chúc vui!