Giải phương trình sau: $\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt {x + ... + \sqrt {x + \sqrt x } } } } = y$
#1
Đã gửi 19-07-2012 - 09:58
\[\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt {x + ... + \sqrt {x + \sqrt x } } } } = y\]( có 2012 dấu căn, $x,y$ nguyên)
- Nh0c_vo_D4nh yêu thích
Dân Thanh Hóa ăn rau má phá đường tàu
#2
Đã gửi 19-07-2012 - 10:18
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y$
với n dấu căn x, y nguyên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-07-2012 - 10:24
#3
Đã gửi 19-07-2012 - 10:27
Giải bài toán tổng quát:$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y$
với n dấu căn x, y nguyên
ĐKXĐ: $x\geq 0$; $y\geq 0$
Bình phương hai vế rồi chuyển vế ta được:
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^2-x=a$ (với $a$ là số tự nhiên) ($VT$ có $n-1$ dấu căn)
Tiếp tục bình phương hai vế rồi chuyển vế ta được:
$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=a^2-x=b$ (với $b$ là số tự nhiên) ($VT$ có $n-2$ dấu căn)
Thực hiện các bước trên đến khi $PT$ có dạng:
$x+\sqrt{x}=k^2$
Vì $VP$ là số tự nhiên nên $\sqrt{x}$ phải là số chính phương
$PT\Leftrightarrow \sqrt{x}\left ( \sqrt{x}+1 \right )=k^2$
Ta có $\sqrt{x}$ và $\sqrt{x}+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp có tích là một số chính phương nên số nhỏ bằng 0 tức là $\sqrt{x}=0$ suy ra $x=0$, từ đó dẫn đến $y=0$.
- C a c t u s, o0o Math Lover o0o, tuyhuyenan và 2 người khác yêu thích
Thích ngủ.
#4
Đã gửi 19-07-2012 - 10:29
Bạn nói không co tích $(t-1)(t+1)$ chính phương là không đúng nếu t=1 thì nó chính phương chỉ có điều bạn thay vào ra $x=0$ thì không thỏa điều kiện bạn đang xétnhận thấy x=y=0 là nghiem pt.
nếu x,y khác 0
thì x+căn(x) chính phương
đặt căn (x)=t^2
=>t^4-t^2 chính phương
<=>t^2(t^2-1)=t^2(t-1)(t+1)
không có tích (t-1)(t+1) chính phương
nên pt chỉ có nghiem x=y=0
- Mai Duc Khai yêu thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#5
Đã gửi 19-07-2012 - 10:33
Chứng minh:
Giả sử: $a\left ( a+1 \right )=k^2$ $(1)$ với $a\in Z$, $k\in N$.
Giả sử $a\neq 0$ và $a+1\neq 0$ thì $k^2\neq 0$. Do $k\in N$ nên $k>0$.
Từ $(1)$ ta suy ra:
$$a^2+a=k^2$$
$$\Leftrightarrow 4a^2+4a+1=4k^2+1$$
$$\Leftrightarrow \left ( 2a+1 \right )^2=4k^2+1$$
Vì $k>0$ nên $4k^2<4k^2+1<4k^2+4k+1$ do đó suy ra: $\left ( 2k \right )^2<\left ( 2a+1 \right )^2<\left ( 2k+1 \right )^2$ (điều này không xảy ra).
Do đó ta có $Q.E.D$
- duchanh1911 và daothanhoai thích
Thích ngủ.
#6
Đã gửi 19-07-2012 - 10:44
ta thấy (x;y)=(0;0) là nghiệm của phương trình trên
nếu n=1 thì $\sqrt{x}=y\Rightarrow x=y^{2}(x\geq 0)$
vậy nghiệm (x;y) là $(t^{2};t)$ với $t\in N$
nếu n=2 thì $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\Rightarrow \sqrt{x}=y^{2}-x\Rightarrow \sqrt{x}$ là số tự nhiên
Đặt $\sqrt{x}=t(t\in N)\Rightarrow t(t+1)=y^{2}$
Vì $t^{2<}\leq t(t+1)< (t+1)^{2}\Rightarrow t^{2}\leq y^{2}< (t+1)^{2}\Rightarrow y^{2}=t^{2}\Rightarrow t=0$
phương trình có nghiệm (x;y)=(0;0)
nếu $n\geq 3$ ta có $\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^{2}-x$ với n-1 dấu căn
đặt $y^{2}-x=y_{1}$ là số dương . tiếp tục làm như thế n-2 lần dẫn đến $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y_{n-2}^{2}-x$
ta trở lại trường hơp n=2vaf chỉ co nghiệm (x;y)=(0;0)
#7
Đã gửi 19-07-2012 - 10:51
"Trên con đường đi đến thành công,
thì không có vết chân của kẻ làm biếng."
"Những thành quả đạt được trong tương lai,
là kết quả của việc học ngày hôm nay"
#8
Đã gửi 19-07-2012 - 10:52
Mình đã giải chi tiết ở trên rồi đấy bạn.mấy anh có thể giảng kĩ về cách làm và cách trình bày của bài dùm em được không
Thích ngủ.
#9
Đã gửi 19-07-2012 - 11:02
$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}}}}}$
và
$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{9}}}}}$
"Trên con đường đi đến thành công,
thì không có vết chân của kẻ làm biếng."
"Những thành quả đạt được trong tương lai,
là kết quả của việc học ngày hôm nay"
#10
Đã gửi 25-07-2012 - 09:59
Đề bài là gì vậy em,nếu là tính hay so sánh thì em coi ở đâyem vẫn chưa hiểu về cách trình bày bài tập dạng này cho lắm nên xin phép cho em thêm ví dụ cụ thể như
$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}}}}}$
và
$A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{9}}}}}$
http://diendantoanho...-3/#entry339802
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh