Cho e hỏi bài này chứng minh bằng phương pháp quy nạp thế nào?
$A= \begin{bmatrix} a & 1 & 0\\ 0 & a & 1\\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$
Tìm $A^{1000}$
$ \bullet $ Ta có: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&0\\
0&a&1\\
0&0&a
\end{array}} \right) \Rightarrow {A^2} = A.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&0\\
0&a&1\\
0&0&a
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&0\\
0&a&1\\
0&0&a
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2}}&{2a}&1\\
0&{{a^2}}&{2a}\\
0&0&{{a^2}}
\end{array}} \right)\]
Tính tiếp: \[{A^3} = {A^2}.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2}}&{2a}&1\\
0&{{a^2}}&{2a}\\
0&0&{{a^2}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&0\\
0&a&1\\
0&0&a
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^3}}&{3{a^2}}&{3a}\\
0&{{a^3}}&{3{a^2}}\\
0&0&{{a^3}}
\end{array}} \right)\]
Từ đó dự đoán công thức tổng quát của ${A^n}$ là \[{A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^n}}&{n{a^{n - 1}}}&{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}{a^{n - 2}}}\\
0&{{a^n}}&{n{a^{n - 1}}}\\
0&0&{{a^n}}
\end{array}} \right)\,\,\,\,\,\,\,(*)\]
$ \bullet $ Ta sẽ chứng minh $(*)$ bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n=1$ thì $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&0\\
0&a&1\\
0&0&a
\end{array}} \right)$: đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n = k,\,\,k \in \mathbb{N},k \ge 1$, tức là \[{A^k} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^k}}&{k{a^{k - 1}}}&{\frac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}{a^{k - 2}}}\\
0&{{a^k}}&{k{a^{k - 1}}}\\
0&0&{{a^k}}
\end{array}} \right)\]
Ta chứng minh $(*)$ đúng với $n = k + 1$. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp:
\[{A^{k + 1}} = {A^k}.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^k}}&{k{a^{k - 1}}}&{\frac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}{a^{k - 2}}}\\
0&{{a^k}}&{k{a^{k - 1}}}\\
0&0&{{a^k}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&0\\
0&a&1\\
0&0&a
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^{k + 1}}}&{\left( {k + 1} \right){a^k}}&{\frac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}{a^{k - 1}}}\\
0&{{a^{k + 1}}}&{\left( {k + 1} \right){a^k}}\\
0&0&{{a^{k + 1}}}
\end{array}} \right)\]
Vậy theo nguyên lí quy nạp, ${A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^n}}&{n{a^{n - 1}}}&{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}{a^{n - 2}}}\\
0&{{a^n}}&{n{a^{n - 1}}}\\
0&0&{{a^n}}
\end{array}} \right),\,\,\forall n \in \mathbb{N^*}$
$ \bullet $ Từ CTTQ bạn sẽ dễ dàng tìm được
$A^{1000}$.
