Chủ đề này có 3 trả lời

[ntnt]

Cho $\Delta ABC$ cố định. Vẽ hình thoi $BCDE$, kẻ $DD_1\perp AB$, $EE_1\perp AC$, $M$ là giao điểm của $DD_1$ và $EE_1$. Tìm quỹ tích điểm $M$.

[perfectstrong]

Lời giải:
Vẽ $(O)$ ngoại tiếp $\vartriangle ABC$. Gọi $Y$ là trung điểm $BC$. Gọi $X$ là giao của $BD$ và $CE$. Dễ thấy $\angle BXC=90^o$ nên quỹ tích của $X$ là đường tròn đường kính $BC$ hay $(Y;\frac{BC}{2}),(1)$.
Xét phép vị tự tâm $X$, tỉ số $-1$
\[
V_X^{ - 1} :\left\{ \begin{array}{l}
D \mapsto B \\
E \mapsto C \\
M \mapsto N \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ME;MD} \right) = \left( {NC;NB} \right)\left( {\bmod \pi } \right)
\]

Mà ta có
\[
\begin{array}{l}
\left( {ME;MD} \right) = \left( {ME;AC} \right) + \left( {AC;AB} \right) + \left( {AB;MD} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
= \frac{\pi }{2} + \left( {AC;AB} \right) + \frac{\pi }{2} = \left( {AC;AB} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\Rightarrow \left( {NC;NB} \right) = \left( {AC;AB} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\end{array}
\]
Suy ra, $A,B,N,C$ đồng viên. Mặt khác, dễ thấy $(NB;AB)=(MD;AB)=\frac{\pi}{2} \pmod \pi \Rightarrow AN$ là đường kính của $(O)$.
Do đó, $N$ cố định.
Xét phép vị tự tâm $N$, tỉ số $2$
\[
V_N^2 :X \mapsto M
\]
Do $(1)$ nên quỹ tích của $M$ là đường tròn $(O';BC)$ với $O'=V_N^2(Y)$

[ntnt]

Bạn ơi có thể giải theo cách lớp 11 phổ thông không vì mình học trường thường chứ không phải chuyên nên không hiểu cách giải của bạn! như mod, vị tự tâm,... mình chưa được học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 23-07-2012 - 01:54

[danghaibang]

Lời giải:
Vẽ $(O)$ ngoại tiếp $\vartriangle ABC$. Gọi $Y$ là trung điểm $BC$. Gọi $X$ là giao của $BD$ và $CE$. Dễ thấy $\angle BXC=90^o$ nên quỹ tích của $X$ là đường tròn đường kính $BC$ hay $(Y;\frac{BC}{2}),(1)$.
Xét phép vị tự tâm $X$, tỉ số $-1$
\[
V_X^{ - 1} :\left\{ \begin{array}{l}
D \mapsto B \\
E \mapsto C \\
M \mapsto N \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ME;MD} \right) = \left( {NC;NB} \right)\left( {\bmod \pi } \right)
\]

Mà ta có
\[
\begin{array}{l}
\left( {ME;MD} \right) = \left( {ME;AC} \right) + \left( {AC;AB} \right) + \left( {AB;MD} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
= \frac{\pi }{2} + \left( {AC;AB} \right) + \frac{\pi }{2} = \left( {AC;AB} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\Rightarrow \left( {NC;NB} \right) = \left( {AC;AB} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\end{array}
\]
Suy ra, $A,B,N,C$ đồng viên. Mặt khác, dễ thấy $(NB;AB)=(MD;AB)=\frac{\pi}{2} \pmod \pi \Rightarrow AN$ là đường kính của $(O)$.
Do đó, $N$ cố định.
Xét phép vị tự tâm $N$, tỉ số $2$
\[
V_N^2 :X \mapsto M
\]
Do $(1)$ nên quỹ tích của $M$ là đường tròn $(O';BC)$ với $O'=V_N^2(Y)$

4 điểm đồng viên là sao vậy bạn