Chủ đề này có 1 trả lời

[duongvanhehe]

Bài toán:Cho$a,b,c\geq 0$.Chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+bc}}\leq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$

[Tham Lang]

Bài toán:Cho$a,b,c\geq 0$.Chứng minh:
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+bc}}\leq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$

Lời giải :
Trước hết, ta chứng minh BĐT sau :
$$\dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+ab}} \le \sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right )$$
Và đây là một lời giải của anh Cẩn :
Áp dụng CS, ta có :
$$\left (\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}\right )^2 =\left [\sum \sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)}{a^2+bc}}.\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\right ]^2 \le \left [\sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{a^2+bc}\right ]\left [\sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}\right ]$$
$$=\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left [\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\right ]$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left [\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\right ]\le 2\left (\sum \dfrac{1}{b+c}\right )^2$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\le \dfrac{\left (a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca\right )^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}-3 \le \dfrac{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)(a-c)\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ] \ge 0$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$, khi đó, ta có $a-c\ge \dfrac{a}{b}(b-c) \ge 0$
Do đó :
$$ \sum (a-b)(a-c)\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ] \ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{b}\left \{a\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ]-b\left [\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{(a+c)(a+b+c)}\right ]\right \}$$
$$=\dfrac{c(a-b)^2(a+b)(b-c)\left (a^2+b^2-ab+ac+bc\right )}{b(a+c)(b+c)(\left (a^2+bc\right )\left (b^2+ca\right )} \ge 0$$
Trở lại bài toán, ta chỉ cần chứng minh :
$$\sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right ) \le \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
Thật vậy :
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ =\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
$$\le \dfrac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{8\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}} \le \dfrac{3}{2}\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right ) \le \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.