Bài 1: Cho
1. $x_1+x_2+...+x_i\geq y_1+y_2+...+y_i ;$ với mọi $i=1,2,..,n-1$
2. $x_1+x_2+...+x_n=y_1+y_2+...+y_n$
Nếu: $\lambda _1\geq \lambda _2\geq ...\geq \lambda _n;$ ta có:
$\lambda _1x_1+\lambda _2x_2+...+\lambda _nx_n\geq \lambda _1y_1+\lambda _2y_2+...+\lambda _ny_n$ (1)
Dấu bằng xảy ra <=> $x_1=y_1; x_2=y_2,....,x_n=y_n$ hoặc $\lambda _1=\lambda _2=...=\lambda _n$
Nếu dãy: $\lambda_1\leq \lambda_2\leq...\leq \lambda _n$ bất đẳng thức (1) đổi chiều
Chứng minh:
TH1: Nếu $ x_i=y_i$ mọi i ta có đẳng thức xảy ra
TH2: Nếu $\exists x_i=y_i$ ta loại luôn hai giá trị $x_i,y_i$ cả trong giả thiết và kết luận để đưa về trường hợp 3.
TH3: $x_i\neq y_i$ mọi i
Đặt:
$S_{ix}=x_1+x_2+..+x_i$
$S_{iy}=y_1+y_2+..+y_i$
Sử dụng khai triển Albel
$VT-VP=\lambda _1(x_1-y_1)+\lambda _2(x_2-y_2)+...+\lambda _n(x_n-y_n)=(\lambda _1-\lambda _2)(S_{1x}-S_{1y})+....+(\lambda _{n-1}-\lambda _{n})(S_{nx}-S_{ny}) > 0$
Các hệ quả:
Hệ quả 1- Bất đẳng thức Karamata
Đưa thêm giả thiết của bất đẳng thức Karamata
3. $x_1\geq x_2\geq ....\geq x_n;$ $ y_1\geq y_2\geq ....\geq y_n;$
Chứng minh:
TH1: Nếu $ x_i=y_i$ mọi i ta có đẳng thức xảy ra
TH2: Nếu $\exists x_i=y_i$ ta loại luôn hai giá trị $x_i,y_i$ cả trong giả thiết và kết luận để đưa về trường hợp 3.
TH3: $x_i\neq y_i$ mọi i
Hàm f(x) là hàm lồi. Đặt $\lambda _i=\frac{f(x_i)-f(y_i)}{x_i-y_i}$ theo định lý Lagrange có $\lambda _i=f'(c_i)$ ta thấy $c_i\in (x_i,y_i)$ nếu $ x_i <y_i $ hoặc $c_i\in (y_i,x_i)$ nếu $x_i>y_i$ theo giả thiết 3. => $c_1> c_2>...> c_n$ vì f''(x)>0 nên $\lambda _1> \lambda _2>...> \lambda _n$ ; các điều kiện giả thiết bất đẳng thức (1) thỏa mãn nên ta có:
$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\geq f(y_1)+f(y_2)+...+f(y_n)$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x_i=y_i$ mọi i=1,2,...n
Hệ quả 2-Bất đẳng thức Chebushep
Chứng minh:
Đặt $y_1=y_2=...=y_n=\frac{x_1+x_2+..+x_n}{n}$ ta có ngay bất đẳng thức chebushep
Nhận xét: Bất đẳng thức Jensen là hệ quả của Karamata; bất đẳng thức Chauchy là hệ quả của Jensen; BĐT Holder là hệ quả của BĐT Chauchy; BĐT Minskowki là hệ quả của Holder.... Do đó có thể nói BĐT trên đơn giản nhưng lại là cơ bản và tổng quát của hàng nghìn nghìn tỉ bất đẳng thức
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 02-08-2012 - 14:38
