Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a, SB=b, SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u, v, w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA, SB, SC$. Chứng minh rằng :
$$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 05-08-2012 - 02:01

[phudinhgioihan]

Bài toán :
Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a, SB=b, SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u, v, w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA, SB, SC$. Chứng minh rằng :
$$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$.

 

Gọi $h_a,h_b,h_c$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $(SBC),(SCA),(SAB)$.

 

Ta có: $\dfrac{h_a}{a}=\dfrac{h_a.S_{SBC}}{a.S_{SBC}}=\dfrac{V_{MSBC}}{SABC}$

Tương tự, $\dfrac{h_b}{b}=\dfrac{V_{MSAC}}{V_{SABC}},\; \dfrac{h_c}{c}=\dfrac{V_{MSAB}}{V_{SABC}}$

 

Suy ra $$\dfrac{h_a}{a}+\dfrac{h_b}{b}+\dfrac{h_c}{c}=\dfrac{V_{MSBC}+V_{MSAC}+V_{MSAB}}{v_{SABC}}=1$$

 

Theo bdt $Cauchy-Schwarz$, $$1 \le (h_a^2+h_b^2+h_c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$$

$$\Leftrightarrow h_a^2+h_b^2+h_c^2 \ge \dfrac{(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$

 

Gọi $M_a$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(SBC)$, $M_{ab},M_{ac}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M_a$ trên $SB,SC$

 

Ta có: $u^2=SM_a^2=SM_{ab}^2+M_{a}M_{ab}^2=h_b^2+h_c^2$

Tương tự, $v^2=h_a^2+h_c^2,\; w^2=h_a^2+h_b^2$

 

Suy ra $$u^2+v^2+w^2=2(h_a^2+h_b^2+h_c^2)\ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \;\;\;(*)$$

 

Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ (và cũng là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$)

 

Ta có: $\dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ và $SM^2=h_a^2+u^2=h_a^2+h_b^2+h_c^2$

Do đó, đẳng thức trong bất đẳng thức $(*)$ xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv H$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2015 - 21:23