Chủ đề này có 1 trả lời

[MIM]

Trong mọi tam giác $ABC$, những tam giác nào làm cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

$P=\frac{\sqrt[3]{\sin{A}}+\sqrt[3]{\sin{B}}+\sqrt[3]{\sin{C}}}{\sqrt[3]{\cos{\frac{A}{2}}}+\sqrt[3]{\cos{\frac{B}{2}}}+\sqrt[3]{\cos{\frac{C}{2}}}}$

[Crystal]

Trong mọi tam giác $ABC$, những tam giác nào làm cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

$P=\frac{\sqrt[3]{\sin{A}}+\sqrt[3]{\sin{B}}+\sqrt[3]{\sin{C}}}{\sqrt[3]{\cos{\frac{A}{2}}}+\sqrt[3]{\cos{\frac{B}{2}}}+\sqrt[3]{\cos{\frac{C}{2}}}}$

Ta có bất đẳng thức: \[{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} \le \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2},\,\,\forall a + b \ge 0\]
Áp dụng vào bài toán, ta có: \[{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{\sin A}} + \sqrt[3]{{\sin B}}}}{2}} \right)^3} \le \frac{{\sin A + \sin B}}{2} = \cos \frac{C}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt[3]{{\sin A}} + \sqrt[3]{{\sin B}}}}{2} \le \sqrt[3]{{\cos \frac{C}{2}}}\]
Tương tự cho hai bất đẳng thức còn lại, cộng vế theo vế, ta được:
\[\sqrt[3]{{\sin A}} + \sqrt[3]{{\sin B}} + \sqrt[3]{{\sin C}} \le \sqrt[3]{{\cos \frac{A}{2}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{B}{2}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{C}{2}}}\]
Do đó: \[P \le \frac{{\sqrt[3]{{\cos \frac{A}{2}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{B}{2}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{C}{2}}}}}{{\sqrt[3]{{\cos \frac{A}{2}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{B}{2}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{C}{2}}}}} = 1\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{{\sin A}} = \sqrt[3]{{\sin B}} = \sqrt[3]{{\sin C}}\\
\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{B}{2} = \cos \frac{C}{2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow A = B = C$.

Vậy với $ABC$ là tam giác đều thì $P$ đạt giá trị lớn nhất.