Đến nội dung

Hình ảnh

$a^7+b^7+c^7+abc\geq 4$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a^4+b^4+c^4=3$.Chứng minh rằng:
$$a^7+b^7+c^7+abc\geq 4$$
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử $a \leq b \leq c$

Áp dụng bđt Chebyshev ta có:

$a^7+b^7+c^7+abc=a^3a^4+b^3b^4+c^3c^4+abc \geq\frac{(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4)}{3}+abc=a^3+b^3+c^3+abc\geq 4abc$ (Do $a^4+b^4+c^4=3$)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x^3=y^3=z^3\\ x^4=y^4=z^4 \\ x^4+y^4+z^4=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=z=1$

Từ đó suy ra $a^7+b^7+c^7+abc\geq 4$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 08-07-2014 - 00:06

"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh