4 replies to this topic

[tkvn97]

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn các điều kiện $\begin{vmatrix} f(-1) \end{vmatrix} \leq 1 ; \begin{vmatrix} f(0) \end{vmatrix} \leq 1 ; \begin{vmatrix} f(1) \end{vmatrix} \leq 1$ . Chứng minh rằng $\begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq \frac{5}{4}$ với $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} \leq 1$
Bài này thi chọn lớp ở quê mình (Không fai trường Lam Sơn đâu nhé) . Không làm được .

Edited by TRUNGKIEN1997, 10-08-2012 - 16:15.

[Crystal]

Có thể tham khảo bài sau. Chỉ tham khảo!

[Crystal]

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn các điều kiện $\begin{vmatrix} f(-1) \end{vmatrix} \leq 1 ; \begin{vmatrix} f(0) \end{vmatrix} \leq 1 ; \begin{vmatrix} f(1) \end{vmatrix} \leq 1$ . Chứng minh rằng $\begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq \frac{5}{4}$ với $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} \leq 1$
Bài này thi chọn lớp ở quê mình (Không fai trường Lam Sơn đâu nhé) . Không làm được .

Làm nhé!

Viết $f(x)$ dưới dạng: \[f\left( x \right) = \alpha x\left( {x + 1} \right) + \beta x\left( {x - 1} \right) + \gamma \left( {{x^2} - 1} \right)\]
Cho $x$ lần lượt bằng $-1;0;1$, ta được:
\[\alpha = \frac{{f\left( 1 \right)}}{2};\,\,\beta = \frac{{f\left( { - 1} \right)}}{2};\,\,\gamma = - f\left( 0 \right)\]
Theo giả thiết, suy ra: \[\left| \alpha \right| \le \frac{1}{2};\,\,\left| {\,\beta } \right| \le \frac{1}{2};\,\,\left| \gamma \right| \le 1\]
khi đó: $\forall x:\left| x \right| \le 1$, ta có:
\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\alpha x\left( {x + 1} \right) + \beta x\left( {x - 1} \right) + \gamma \left( {{x^2} - 1} \right)} \right| \le \left| \alpha \right|\left| {x\left( {x + 1} \right)} \right| + \,\left| {\,\beta } \right|\left| {x\left( {x - 1} \right)} \right| + \left| \gamma \right|\left| {{x^2} - 1} \right|\]
\[ \le \frac{1}{2}\left| x \right|\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{2}\left| x \right|\left( {1 - x} \right) + \left( {1 - {x^2}} \right) = - {\left| x \right|^2} + \left| x \right| + 1 = \frac{5}{4} - {\left( {\left| x \right| - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{4}\]
Ta có đpcm.

[tkvn97]

Làm nhé!

Viết $f(x)$ dưới dạng: \[f\left( x \right) = \alpha x\left( {x + 1} \right) + \beta x\left( {x - 1} \right) + \gamma \left( {{x^2} - 1} \right)\]
Cho $x$ lần lượt bằng $-1;0;1$, ta được:
\[\alpha = \frac{{f\left( 1 \right)}}{2};\,\,\beta = \frac{{f\left( { - 1} \right)}}{2};\,\,\gamma = - f\left( 0 \right)\]
Theo giả thiết, suy ra: \[\left| \alpha \right| \le \frac{1}{2};\,\,\left| {\,\beta } \right| \le \frac{1}{2};\,\,\left| \gamma \right| \le 1\]
khi đó: $\forall x:\left| x \right| \le 1$, ta có:
\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\alpha x\left( {x + 1} \right) + \beta x\left( {x - 1} \right) + \gamma \left( {{x^2} - 1} \right)} \right| \le \left| \alpha \right|\left| {x\left( {x + 1} \right)} \right| + \,\left| {\,\beta } \right|\left| {x\left( {x - 1} \right)} \right| + \left| \gamma \right|\left| {{x^2} - 1} \right|\]
\[ \le \frac{1}{2}\left| x \right|\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{2}\left| x \right|\left( {1 - x} \right) + \left( {1 - {x^2}} \right) = - {\left| x \right|^2} + \left| x \right| + 1 = \frac{5}{4} - {\left( {\left| x \right| - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{4}\]
Ta có đpcm.

Sao anh thành lại nghĩ đến viết kiểu này : \[f\left( x \right) = \alpha x\left( {x + 1} \right) + \beta x\left( {x - 1} \right) + \gamma \left( {{x^2} - 1} \right)\] . Trong phòng thi em ko làm đc bài này

[Crystal]

Sao anh thành lại nghĩ đến viết kiểu này : \[f\left( x \right) = \alpha x\left( {x + 1} \right) + \beta x\left( {x - 1} \right) + \gamma \left( {{x^2} - 1} \right)\] . Trong phòng thi em ko làm đc bài này

Ở đây áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức $f(x)$ tại các điểm $\left\{ { - 1;0;1} \right\}$ em à.

Không biết em đã học/đọc qua chưa. Tổng quát là thế này.

Cho đa thức $F\left( x \right)$ có bậc không quá $n$ và $n+1$ số ${x_i},i = \overline {0,n} $ đôi một khác nhau. Khi đó, $F\left( x \right)$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
\[F\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {F\left( {{x_k}} \right)} \left( {\prod\limits_{i = 0;i \ne k}^n {\frac{{\left( {x - {x_i}} \right)}}{{\left( {{x_k} - {x_i}} \right)}}} } \right)\]