Chủ đề này có 6 trả lời

[BlackSelena]

Chắc mọi người ai cũng biết hệ thức lượng quen thuộc sau:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$, khi đó ta có $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Giờ ta thử chứng minh ngược lại xem .
Cho $\triangle ABC$, đường cao $AH$ sao cho $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.
(Ko tính trường hợp cân nhé :-t).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 10-08-2012 - 21:02

[Minhnguyenquang75]

Chắc mọi người ai cũng biết hệ thức lượng quen thuộc sau:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$, khi đó ta có $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Giờ ta thử chứng minh ngược lại xem .
Cho $\triangle ABC$, đường cao $AH$ sao cho $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Mình nghĩ phải là vuông cân.
Cho tam giác ABC vuông với đường cao AH. Ta luôn có tam giác ABH đồng dạng tam giác ACH
=>$\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow BH.AC=CH.AB$
Để xảy ra đẳng thức như bạn nói khi và chỉ khi AC=AB => tam giác ABC vuông cân !

[BlackSelena]

Mình nghĩ phải là vuông cân.
Cho tam giác ABC vuông với đường cao AH. Ta luôn có tam giác ABH đồng dạng tam giác ACH
=>$\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow BH.AC=CH.AB$
Để xảy ra đẳng thức như bạn nói khi và chỉ khi AC=AB => tam giác ABC vuông cân !

Hình như anh ko hiểu đề bài của em.
Ý em tức là cho cái hệ thức lượng đó và chứng minh tam giác ABC vuông cân mà .

[Minhnguyenquang75]

Hình như anh ko hiểu đề bài của em.
Ý em tức là cho cái hệ thức lượng đó và chứng minh tam giác ABC vuông cân mà .

Anh biết rồi. Nếu cho mệnh đề như em thì chỉ có thể suy ra tam giác ABC vuông cân thôi chứ vuông thì anh nghĩ hơi khó @@. Tuy nhiên tam giác vuông cân cũng là tam giác vuông

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 10-08-2012 - 20:13

[ducthinh26032011]

Chắc mọi người ai cũng biết hệ thức lượng quen thuộc sau:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$, khi đó ta có $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Giờ ta thử chứng minh ngược lại xem .
Cho $\triangle ABC$, đường cao $AH$ sao cho $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Một cách suy nghĩ rất hay!
Gọi $(O)$ là tâm đưởng tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC$
Vẽ p/g tại $A$ cắt $BC$ tại D và $(O)$ tại $M$
Kẻ $BE\perp AD,CF\perp AD$
Ta có:$\frac{BH}{CH}=\frac{cosB.AB}{cosC.CA} = \frac{AB^2}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{cosB}{cosC}=\frac{AB}{CA}$
$\frac{AB}{CA}=\frac{BE}{CF}=\frac{\frac{BE}{BM}}{\frac{CF}{MC}}=\frac{sinAMB}{sinAMC}$ (do $MB=MC$)
mà $\frac{sinAMB}{sinAMC}=\frac{sinC}{sinB}$
$\Rightarrow \frac{cosB}{cosC}=\frac{sinC}{sinB}\Leftrightarrow cosB.sinB=cosC.sinC$
Đặt $sinB=x,sinC=y$ ,ta có:
$\rightarrow (1-x^{2})x^{2}=(1-y^{2})y^{2}\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}-1)=0$
Sẽ xảy ra 2 TH
TH1:$x=y\Leftrightarrow sinB=sinC\Leftrightarrow \widehat{B}=\widehat{C}\Leftrightarrow$ $\Delta ABC$ cân tại $A$
TH2:$x^{2}+y^{2}=1\Leftrightarrow sin^{2}B+sin^{2}C=1\Leftrightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$ hay $\Delta ABC$ vuông tại $A$.
___________
BlackSelena: *bổ sung hình like a boss*.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 10-08-2012 - 21:02

[triethuynhmath]

Mình nghĩ phải là vuông cân.
Cho tam giác ABC vuông với đường cao AH. Ta luôn có tam giác ABH đồng dạng tam giác ACH
=>$\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow BH.AC=CH.AB$
Để xảy ra đẳng thức như bạn nói khi và chỉ khi AC=AB => tam giác ABC vuông cân !

Chính vì bạn lập tỉ lệ thức sai nên dẫn đến kết quả sai đó bạn tam giác ABC vuông vẫn có thể => kết quả trên:
tam giác AHB đồng dạng tam giác CHA thì ta có :
$\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\neq \frac{BH}{CH}$ dẫn đến phép chứng minh của bạn sai hoàn toàn !!!
Tam giác ABC vuông vẫn có thể làm được:
Áp dụng HTL trong tam giác vuông:
$AB^2=BH.BC,AC^2=CH.BC\Rightarrow \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}(Q.E.D)$ Bạn xem lại nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 10-08-2012 - 21:01

[Beautifulsunrise]

Chắc mọi người ai cũng biết hệ thức lượng quen thuộc sau:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$, khi đó ta có $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Giờ ta thử chứng minh ngược lại xem .
Cho $\triangle ABC$, đường cao $AH$ sao cho $\frac{BH}{CH} = \frac{AB^2}{AC^2}$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Phản chứng: Nếu BT đúng thì dễ thấy mọi tam giác cân đều là tam giác vuông (vô lý). Vậy suy ra ...@_^