6 replies to this topic

[Crystal]

KỲ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG NĂM 2012

MÔN THI: TOÁN - LỚP 10

Thời gian: 150' không kể thời gian giao đề

Câu 1 (5 điểm ):
Giải phương trình $(3x + 1)\sqrt {2{x^2} - 1} = 5{x^2} + \frac{{3x}}{2} - 3$

Câu 2 (5 điểm ):
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - \frac{{12}}{{y + 3x}}} \right)\sqrt x = 2\\ \left( {1 + \frac{{12}}{{y + 3x}}} \right)\sqrt y = 6 \end{array} \right.$

Câu 3 (3 điểm):
Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn: $9\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) - 25\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 48 = 0$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P = \frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + 2b}}$$
Câu 4 (5 điểm):
Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn, phân giác trong $AD$. Đường tròn đường kính $AD$ cắt đường thẳng $BC$ tại $H$, cắt đường thẳng $AB$ tại $M$ và cắt đường thẳng $AC$ tại $N$. Chứng minh rằng các đường thẳng $CM, BN, AH$ đồng quy.

Câu 5 (2 điểm):
Chứng minh rằng trong dãy $9; 99; 999; 9999;…$ có vô số số hạng chia hết cho $17$.

[Crystal]

Câu 1: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của một trường nào đó năm 2012-2013

Câu 2: Quá quen thuộc (có thể giải bằng phương pháp đại số hoặc số phức)

Câu 3: VMF - Đề thi thử số 1

Câu 4, câu 5: chưa biết là ở đâu :

[davildark]

Em làm câu 5 vậy
Xét 18 số đầu tiên trong dãy
Theo nguyên lý Đirichlet thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 17 Giả sử là a và b $ ( a>b)$
$\Rightarrow a-b \vdots 17$
$\Rightarrow 99...990..00 \vdots 17$
$\Rightarrow 9...99.10^k \vdots 17 $
Mà $ (10^k,17)=1 $
$\Rightarrow 9...999 \vdots 17 $
Vậy cứ xét 18 số bất kỳ thì sẽ có 1 số hạng thuộc dãy thõa đề

[davildark]

Ai giúp em câu 1 với em làm hoài mà ko ra

[Cao Xuân Huy]

Câu hình không khó lắm.
Bài 4:
Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{MA}}{{MD}}.\frac{{MD}}{{MB}} = \cot BAD.\cot BDM = \cot BAD.\cot BAH\\
\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{NC}}{{ND}}.\frac{{ND}}{{NA}} = \tan NDC.\tan DAC = \tan HAC.\tan DAC\\
\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}.\frac{{HA}}{{HC}} = \tan BAH.\cot HAC
\end{array} \right.\]
Từ đó ta có:
\[\frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {HB} }}{{\overline {HC} }} = - \frac{{MA.NC.NA}}{{MB.NA.HC}} = - 1\]
Theo định lí Ceva suy ra ĐPCM

Edited by Cao Xuân Huy, 13-08-2012 - 17:02.

[vodanh1512]

Bài 1: giải pt.
Hướng dẫn:
$\Leftrightarrow 2\left ( 3x+1 \right )\sqrt{2x^{2}-1}=10x^{2}+3x-6$
Đặt $t=\sqrt{2x^{2}-1}$ ta được $10x^{2}+3x-6-2\left ( 3x+1 \right )t=0$
Đến đây ta phải tách
$10x^{2}=\alpha \left ( 2x^{2} -1 \right )+\left ( 10-2\alpha \right )x^{2}+\alpha$
sao cho $\Delta _{t}$ có dạng chính phương. thay vào ta có:
$\alpha t^{2}-2\left ( 3x+1 \right )t+3x-6+\left( 10-2\alpha \right)x^{2}+\alpha =0$
$\Delta _{t}=9x^{2}+6x+1-3\alpha x+6\alpha -\left ( 10-2x^{2} \right )x^{2}+\alpha^{2}$
$=\left ( 2x^{2} -10x+9\right )x^{2}+\left ( 6-3\alpha \right )x-\left ( \alpha ^{2} -6x-1 \right)$
Để $\Delta _{t}$ có dạng chính phương thì $\Delta _{x}$ phải bằng 0.
$\Delta _{x}=36-36\alpha +9\alpha ^{2}+4\left ( \alpha ^{2} -6\alpha -1\right) \left ( 2\alpha ^{2} -10\alpha +9\right)$
$=36-36\alpha +9\alpha ^{2}+8\alpha ^{4}-40^{3}+36^{2}-48\alpha ^{3}+240\alpha ^{2}-216\alpha -8\alpha ^{2}+40\alpha -36=8\alpha ^{4}-88\alpha ^{3}+277\alpha ^{2}-212\alpha=0$
Bấm máy tính có nghiệm nguyên $\alpha =4$
Do đó thay lại ta có pt:
$4t^{2}-2\left ( 3x+1 \right )t+2x^{2}+3x-2=0$
$\Delta _{t}=9x^{2}+6x+1-8x^{2}-12x+8=x^{2}-6x+9=\left ( x-3\right) ^{2} $
đến đây các bạn giải đơn giản rồi.
khi làm bài cách tìm $\alpha$ chúng ta có thể làm ra nháp. Ta tách luôn
$10x^{2}=4\left ( 2x^{2} -1\right)+2x^{2}+4$
P/s: 2 cái delta t là tính theo delta phẩy nhóe, nhưng ko biết gõ latex nên ghi là delta
thanks perfectstrong nhé, t mới học gõ latex

Edited by vodanh1512, 06-09-2012 - 22:59.

[anmuonnam]

Bạn nào biết bao nhiêu điểm thì được huy chương các loại không?