Chủ đề này có 2 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c dương thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$ .CMR $\sum \frac{a^{2}+2}{b^{3}+3}$$\geq \frac{9}{4}$

[kobietlamtoan]

đen quá! vừa gõ gần xong rồi bấm nhầm! lại phải làm lại! hừ.........
ta có:
$\sum \frac{a^{2}+2}{b^{3}+3}\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow\sum \frac{a^{2}}{b^{3}+3}+\sum \frac{2}{b^{3}+3}$
Ta sẽ chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}}{b^{3}+3}\geq \frac{3}{4}$
thật vậy! ta có:
$\sum \frac{a^{2}}{b^{3}+3}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow\sum \frac{a^{2}}{8b^{3}+24}\geq \frac{3}{32}$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$\sum \frac{a^{2}}{8b^{3}+24}=\sum \frac{a^{2}}{(8b^{3}+1)+23}$
$=\sum \frac{a^{2}}{(2b+1)(4b^{2}-2b+1)+23}\geq \sum \frac{a^{2}}{(\frac{4b^{2}-2b+2b+1+1}{2})^{2}+23}=\sum \frac{a^{2}}{4b^{4}+4b^{2}+24}$
Do đó ta sẽ Chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}}{b^{4}+b^{2}+6}\geq \frac{3}{8}$
Ta sẽ Chứng minh 1 bài toán phụ:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh $\sum \frac{a}{b^{2}+b+6}\geq \frac{3}{8}$
Thật vậy, ta có:
$\sum \frac{a}{b^{2}+b+6}-\frac{3}{8}=\sum \frac{a}{(b-1)(b+2)+8}-\frac{3(a+b+c)}{8}=\sum \frac{(1-b)(ab+2a)}{b^{2}+b+6}$
$=\sum \frac{(a-b+a-c)(ab+2a)}{b^{2}+b+6}=\sum (a-b)(\frac{ab+2a}{b^{2}+b+6}-\frac{ab+2b}{a^{2}+a+6})$
$=\sum \frac{(a-b)^{2}(a^{2}b+ab^{2}+2a^{2}+2b^{2}+3ab+2a+2b+12)}{(a^{2}+a+6)(b^{2}+b+6)}\geq 0$
hay ta có đpcm

[kobietlamtoan]

tiếp nek!
Chứng minh $\sum \frac{1}{a^{3}+3}\geq \frac{3}{4}$
Mình nghĩ là cái này chắc cũng tương tự cũng ra! Các bạn cùng làm thử nhé!
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1