Chủ đề này có 5 trả lời

[vo van duc]

$\begin{vmatrix} x+a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & x+a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & a_{2} & x+a_{3} & ... & a_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

[alex_hoang]

$\begin{vmatrix} x+a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & x+a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & a_{2} & x+a_{3} & ... & a_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

Em giải quyết thử vậy nhé
Trước hết ta thay các số ở cột thứ nhất bằng tổng các số cùng dòng và đưa thừa số chung ra ngoài ta có

\[\left( {x + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\1&{x + {a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\1&{{a_2}}&{x + {a_3}}&{...}&{{a_n}}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\1&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{x + {a_n}}\end{array}} \right|\]
Lấy dòng thứ $i(i>1$ lần lượt cộng với trừ dòng thứ nhất ta có
\[ = \left( {x + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\0&x&0&{...}&0\\0&0&x&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\0&0&0&{...}&x\end{array}} \right| = \left( {x + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right){x^{n - 1}}\]


Em xin đóng góp 1 bài
Tính định thức

\[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&{...}&1&1\\{C_2^1}&{C_3^1}&{...}&{C_n^1}&{C_{n + 1}^1}\\{C_3^2}&{C_4^2}&{...}&{C_{n + 1}^2}&{C_{n + 2}^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{C_n^{n - 1}}&{C_{n + 1}^{n - 1}}&{...}&{C_{2n - 2}^{n - 1}}&{C_{2n - 1}^{n - 1}}\end{array}} \right|\]
Với $C_n^k$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 15-08-2012 - 09:16

[vo van duc]

Bài này không khó!
Mai anh mình post lời giải. Còn giờ phải về ăn cơm thôi.
Trước khi về cho thêm mấy bài nha!
.............................................
Bài 1: Tính định thức

$\begin{vmatrix} C_{p+n}^{n} & C_{p+n+1}^{n} & ... & C_{p+2n}^{n}\\ C_{p+n+1}^{n} & C_{p+n+2}^{n} & ... & C_{p+2n+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{p+2n}^{n} & C_{p+2n+1}^{n} & ... & C_{p+3n}^{n} \end{vmatrix}$

Bài 2: Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 1 & C_{p+1}^{1} & C_{p+1}^{2} & ... & C_{p+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & C_{p+n}^{1} & C_{p+n}^{2} & ... & C_{p+n}^{n} \end{vmatrix}$

Bài 3: Tính định thức

$\begin{vmatrix} C_{m}^{p} & C_{m}^{p+1} & ... & C_{m}^{p+n}\\ C_{m+1}^{p} & C_{m+1}^{p+1} & ... & C_{m+1}^{p+n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m+n}^{p} & C_{m+n}^{p+1} & ... & C_{m+n}^{p+n} \end{vmatrix}$

..................................................
Về đây! Đang ở quán nét mà!

Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 15-08-2012 - 10:59

[vo van duc]

Bài của alex_hoang:

\[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&{...}&1&1\\{C_2^1}&{C_3^1}&{...}&{C_n^1}&{C_{n + 1}^1}\\{C_3^2}&{C_4^2}&{...}&{C_{n + 1}^2}&{C_{n + 2}^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{C_n^{n - 1}}&{C_{n + 1}^{n - 1}}&{...}&{C_{2n - 2}^{n - 1}}&{C_{2n - 1}^{n - 1}}\end{array}} \right|\]
Với $C_n^k$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Thực hiện phép biến đổi $c_{i}-c_{i-1} \to c_{i}$ với i = 2,3,...,n
Áp dụng tính chất $C_{n}^{k}-C_{n-1}^{k}=C_{n-1}^{k-1}$

$D_{n}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ C_{2}^{1} & C_{2}^{0} & C_{3}^{0} & ... & C_{n-1}^{0} & C_{n}^{0}\\ C_{3}^{2} & C_{3}^{1} & C_{4}^{1} & ... & C_{n}^{1} & C_{n+1}^{1}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ C_{n}^{n-1} & C_{n}^{n-2} & C_{n+1}^{n-2} & ... & C_{2n-3}^{n-2} & C_{2n-2}^{n-2} \end{vmatrix}$

Thực hiện phép biến đổi $h_{i}-h_{i-1} \to h_{i}$ với i = n,n-1,..,2
Áp sụng tính chất $C_{n}^{k}-C_{n-1}^{k-1}=C_{n-1}^{k}$

$D_{n}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1\\ 1 & C_{2}^{1} & C_{3}^{1} & ... & C_{n-1}^{1} & C_{n}^{1}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & C_{n-1}^{n-2} & C_{n}^{n-2} & ... & C_{2n-4}^{n-2} & C_{2n-3}^{n-2} \end{vmatrix}$

$D_{n}=1.\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1\\ C_{2}^{1} & C_{3}^{1} & C_{4}^{1} & ... & C_{n-1}^{1} & C_{n}^{1}\\ C_{3}^{2} & C_{4}^{2} & C_{5}^{2} & ... & C_{n}^{2} & C_{n+1}^{2}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ C_{n-1}^{n-2} & C_{n}^{n-2} & C_{n+1}^{n-2} & ... & C_{2n-4}^{n-2} & C_{2n-3}^{n-2} \end{vmatrix}_{n-1}$

Suy ra: $D_{n}=D_{n-1}=D_{n-2}=...=D_{1}=1$
Vậy $D_{n}=1$

...........................................................................
Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 28-08-2012 - 14:32

[vo van duc]

Bài 2:[/u] Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 1 & C_{p+1}^{1} & C_{p+1}^{2} & ... & C_{p+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & C_{p+n}^{1} & C_{p+n}^{2} & ... & C_{p+n}^{n} \end{vmatrix}$

Giữ nguyên hàng 1.
Thực hiện phép biến đổi $h_{i}-h_{i-1}\rightarrow h_{i}$ với i = 2,3,..,n+1

$D_{n+1}=\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n}\\ 0 & C_{p}^{0} & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n-1}\\ 0 & C_{p+1}^{0} & C_{p+1}^{1} & ... & C_{p+1}^{n-1}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & C_{p+n-1}^{0} & C_{p+n-1}^{1} & ... & C_{p+n-1}^{n-1} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n}\\ 0 & 1 & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n-1}\\ 0 & 1 & C_{p+1}^{1} & ... & C_{p+1}^{n-1}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 1 & C_{p+n-1}^{1} & ... & C_{p+n-1}^{n-1} \end{vmatrix}$

Giữ nguyên hàng 1, hàng 2.
Thực hiện phép biến đổi $h_{i}-h_{i-1}\rightarrow h_{i}$ với i = 3,4,..,n+1

$D_{n-1}=\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 0 & 1 & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n-1}\\ 0 & 0 & C_{p}^{0} & ... & C_{p}^{n-2}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & C_{p+n-2}^{0} & ... & C_{p+n-2}^{n-2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 0 & 1 & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n-1}\\ 0 & 0 & 1& ... & C_{p}^{n-2}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 1 & ... & C_{p+n-2}^{n-2} \end{vmatrix}$

Lặp lại tiến trình trên đến hàng cuối cùng ta sẽ có định thức

$D_{n+1}=\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 0 & 1 & C_{p}^{1} & ... & C_{p}^{n-1}\\ 0 & 0 & 1 & ... & C_{p}^{n-2}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{vmatrix}=1$

Vậy $D_{n+1}=1$
......................................................
Bài 1 làm tương tự nhưng được tiến hành theo 3 bước
Bước 1: Làm hoàn toàn như bài 2 này với các cột
Bước 2: Làm hoàn toàn như bài 2 này với các hàng
Bước 3: Đổi chổ các cột để được ma trân bậc thang trên và áp dụng phép biển đổi sơ cấp trên hàng

......................................................................................
Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 16-08-2012 - 10:20

[vo van duc]

Bài 3: Tính định thức

$\begin{vmatrix} C_{m}^{p} & C_{m}^{p+1} & ... & C_{m}^{p+n}\\ C_{m+1}^{p} & C_{m+1}^{p+1} & ... & C_{m+1}^{p+n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m+n}^{p} & C_{m+n}^{p+1} & ... & C_{m+n}^{p+n} \end{vmatrix}$

Ta áp dụng $C_{n}^{k}=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}$, ta có:

$D_{n+1}=\begin{vmatrix} \frac{m}{p}C_{m-1}^{p-1} & \frac{m}{p+1}C_{m}^{p} & ... & \frac{m}{p+n}C_{m-1}^{p+n-1}\\ \frac{m+1}{p}C_{m}^{p-1} & \frac{m+1}{p}C_{m}^{p} & ... & \frac{m+1}{p+n}C_{m}^{p+n-1}\\ ... & ... & ... & ...\\ \frac{m+n}{p}C_{m+n-1}^{p-1} & \frac{m+n}{p+1}C_{m+n-1}^{p} & ... & \frac{m+n}{p+n}C_{m+n-1}^{p+n-1} \end{vmatrix}$

Rút m từ hàng 1, m+1 từ hàng 2, ... , m+n từ hàng n+1
Rút $\frac{1}{p}$ từ cột 1, $\frac{1}{p+1}$ từ cộ 2, ... , $\frac{1}{p+n}$ từ cột n+1
Ta có:

$D_{n+1}=\frac{m.(n+1)...(m+n)}{p.(p+1)...(p+n)}.\begin{vmatrix} C_{m-1}^{p-1} & C_{m}^{p} & ... & C_{m-1}^{p+n-1}\\ C_{m}^{p-1} & C_{m}^{p} & ... & C_{m}^{p+n-1}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m+n-1}^{p-1} & C_{m+n-1}^{p} & ... & C_{m+n-1}^{p+n-1} \end{vmatrix}$

$=\frac{C_{m+n}^{n+1}}{C_{p+n}^{n+1}}.\begin{vmatrix} C_{m-1}^{p-1} & C_{m}^{p} & ... & C_{m-1}^{p+n-1}\\ C_{m}^{p-1} & C_{m}^{p} & ... & C_{m}^{p+n-1}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m+n-1}^{p-1} & C_{m+n-1}^{p} & ... & C_{m+n-1}^{p+n-1} \end{vmatrix}$

Lặp lại tiến trình trên p lần ta có:

$D_{n+1}=\frac{C_{m+n}^{n+1}.C_{m+n-1}^{n+1}...C_{m+n-p+1}^{n+1}}{C_{p+n}^{n+1}.C_{p+n-1}^{n+1}...C_{n+1}^{n+1}}.\begin{vmatrix} C_{m-p}^{0} & C_{m-p}^{1} & ... & C_{m-p}^{n}\\ C_{m-p+1}^{0} & C_{m-p+1}^{1} & ... & C_{m-p+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m-p+n}^{0} & C_{m-p+n}^{1} & ... & C_{m-p+n}^{n} \end{vmatrix}$

Thực hiện phép biến đổi hoàn toàn giống bài 2, ta có kết quả

$D_{n+1}=\frac{C_{m+n}^{n+1}.C_{m+n-1}^{n+1}...C_{m+n-p+1}^{n+1}}{C_{p+n}^{n+1}.C_{p+n-1}^{n+1}...C_{n+1}^{n+1}}$

............................................................

Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 28-08-2012 - 14:31