Chủ đề này có 3 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x$, $y$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và là ước của $1995$.

[henry0905]

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x$, $y$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và là ước của $1995$.

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x$, $y$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và là ước của $1995$.

Cách trâu bò nhất:
Ước nguyên dương của 1995 là $\begin{Bmatrix} 1;1995;3;665;5;399;7;285;15;133;19;105;21;95;35;57 \end{Bmatrix}$
Trường hợp 1: $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-x+y^{2}+y=0$
$\Leftrightarrow (2x-1)^{2}+(2y+1)^{2}=2$
$\Leftrightarrow x=1,y=0$
Giải tương tự với các trường hợp còn lại (chỉ có 16 phương trình thôi, ít mà).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 15-08-2012 - 15:14

[nguyenta98]

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x$, $y$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và là ước của $1995$.

Giải như sau:
Đặt $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=k \Rightarrow k|1995$
Suy ra $x^2+y^2=k(x-y)$
Đặt $gcd(x,y)=d \Rightarrow x=dm,y=dn,gcd(m,n)=1$
Suy ra $d^2(m^2+n^2)=k.d.(m-n) \Rightarrow d(m^2+n^2)=k(m-n)$
Nhận thấy $gcd(m^2+n^2,m-n)=gcd(m^2-n^2+2n^2,m-n)=gcd(2n^2,m-n)=1,2$ (do $gcd(m,n)=1$)
TH1: $gcd(m^2+n^2,m-n)=1 \Rightarrow d \vdots (m-n)$
Suy ra $\dfrac{d}{m-n}.(m^2+n^2)=k$ với $\dfrac{d}{m-n},m^2+n^2$ nguyên
Như vậy ta có $\dfrac{d}{m-n},(m^2+n^2)$ là ước của $k$ nên $m^2+n^2$ cũng là ước của $1995$
Nhận thấy ta đã có bổ đề $a^2+b^2 \vdots p, p \in \mathbb{P},p \equiv 3 \pmod{4} \Leftrightarrow p|a,b$
Suy ra nếu $m^2+n^2 \vdots 3,7,19$ thì suy ra $m,n \vdots 3,7,19 \Rightarrow m^2+n^2 \vdots 3^2,7^2,19^2 \Rightarrow 1995 \vdots 3^2,7^2,19^2$ vô lý
Do đó $m^2+n^2$ chỉ có ước là $5$ hoặc $1$ suy ra $m^2+n^2=1,5$
Đến đây mọi việc đã đơn giản
TH2: $gcd(m^2+n^2,m-n)=2 \Rightarrow \dfrac{d}{\frac{m-n}{2}}.\left(\dfrac{m^2+n^2}{2}\right)=k$
Đến đây cùng xét hoàn toàn tương tự

P/S cách bạn henry trâu bò quá

[Zaraki]

Bài toán: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x$, $y$ sao cho $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và là ước của $1995$.

Đặt $2995=\frac{x^2+y^2}{x-y}.k, \; (k \in \mathbb{N})$
Phân tích $1995=3.5.7.19$.
Nhận thấy $3,7,19$ là ba số nguyên tố dạng $4k+3$, áp dụng bổ đề:
Nếu $a,b$ là hai số nguyên dương, $p$ nguyên tố mà $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ thì $a,b$ đều chia hết cho $p$.
Như vậy $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ không thể chứa các ước $3,7,19$.
Do đó thì $\frac{x^2+y^2}{x-y}=5 \implies x^2+y^2-5x+5y=0 \implies 4x^2+4y^2+20x-20y=0 \implies (2x-5)^2+(2y+5)^2=50$.
Đến đây chắc là ra.