2 replies to this topic

[T M]

Bài toán. Giải hệ phương trình sau

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{3x}\left ( 1+\frac{1}{x+y} \right )=2 \\
\sqrt{7y}\left ( 1-\frac{1}{x+y} \right )=4\sqrt{2}
\end{matrix}\right.$$

[VMO - 1996]

[Ispectorgadget]

Bài toán. Giải hệ phương trình sau

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{3x}\left ( 1+\frac{1}{x+y} \right )=2 \\
\sqrt{7y}\left ( 1-\frac{1}{x+y} \right )=4\sqrt{2}
\end{matrix}\right.$$
[VMO - 1996]

Cách 1:
ĐK $x,y>0$ phương trình đã cho viết lại thành
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}\\
1 = \frac{1}{{\sqrt {3x} }} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}
\end{array} \right.\]
Biến đổi ta được $7y^2-38xy-24x^2=0 \Leftrightarrow (y-6x)(7y+4)=0\Leftrightarrow y=6x \vee 7y+4>0$
Đặt $u=\sqrt{x};v=\sqrt{y}$ phương trình đã cho viết lại thành
\[\left\{ \begin{array}{l}
u(1 + \frac{1}{{{v^2} + {u^2}}}) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\\
v(1 - \frac{1}{{{v^2} + {u^2}}}) = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}
\end{array} \right.\]
Viết $z=a+bi(a;b\in R)$
Cộng 2 phương trình lại ta có \[u + iv + \frac{{u - iv}}{{{u^2} + {v^2}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} + i\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}(1)\]
$u+iv+\frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{1}{z}$
Phương trình $(1)$ trở thành $$z+\frac{1}{z}=\frac{2}{\sqrt{3}}+i\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \Leftrightarrow z^2-(\frac{2}{\sqrt{3}}+i\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7}})z+1=0$$
$$z=(\frac{1}{\sqrt{3}}\pm \frac{2}{\sqrt{21}})+i(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\pm \sqrt{2})$$
Từ đây ta tìm được nghiệm $$x=(\frac{1}{\sqrt{3}}\pm \frac{2}{\sqrt{21}})^2; \, y=(2\sqrt{\frac{2}{7}}\pm \sqrt{2})^2$$
Cách 2: Biến đổi như trên \[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}\\
1 = \frac{1}{{\sqrt {3x} }} + \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {7y} }}
\end{array} \right.\]
Ta tìm được $y=6x$ thay vào ta được $1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7.6x}}\Leftrightarrow x=\frac{11+4\sqrt{7}}{21} \Rightarrow y=6x=\frac{22+8\sqrt{7}}{7}$
Cách giá trị này đều thỏa điều kiện vậy phương trình có nghiệm $(x;y)=(x=\frac{11+4\sqrt{7}}{21};\frac{22+8\sqrt{7}}{7})$

[diepviennhi]

ĐK : $x,y\geq 0$
Xét (x,y)=(0,0) không là ngiệm của hệ nên ta có $\left\{\begin{matrix}
1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} & \\ 1-\frac{1}{x+y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}
&
\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}
1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} & \\\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}
&
\end{matrix}\right.$
Nhân theo vế ta có $\frac{1}{x+y}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3x}} \end{pmatrix}^{2}-\begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{pmatrix}^{2}=\frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}\Leftrightarrow (4x+7y)(6x-y)=0$ mà $x,y> 0\Rightarrow 4x+7y> 0\Rightarrow 6x-y=0\Leftrightarrow x=\frac{y}{6}\Rightarrow 1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}\Leftrightarrow 1=\frac{2\sqrt{14}+7\sqrt{2}}{7\sqrt{y}}\Leftrightarrow y=\frac{22+8\sqrt{7}}{7}\Rightarrow x=\frac{11+4\sqrt{7}}{21}$

Edited by NGOCTIEN_A1_DQH, 18-08-2012 - 10:24.