Chủ đề này có 5 trả lời

[longqnh]

Cho đồ thị $\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$.
Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng      cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng      sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 11/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng      sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[chanhquocnghiem]

Cho đồ thị $\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$.
Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.

Sửa lại đề cho rõ hơn : " ...Khi đó, chứng minh rằng với mỗi giá trị của $m$ cho trước, có vô số đường thẳng $(\Delta)$ thỏa mãn ĐK đề bài và chúng đều đi qua 1 điểm cố định "

 

GIẢI :

$(C):y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ là đồ thị hàm số bậc ba nên có tâm đối xứng $I$.

$y'=6x^2-6(2m+1)x+6m(m+1)$

$y"=12x-6(2m+1)$

Hoành độ tâm đối xứng $I$ của $(C)$ chính là nghiệm phương trình : $y"=12x-6(2m+1)=0$

$\Rightarrow x_{I}=m+\frac{1}{2}$.Thay vào hàm số bậc ba, rút gọn ta được $y_{I}=2m^3+3m^2+\frac{1}{2}$

$(\Delta)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$ $\Rightarrow I\left ( m+\frac{1}{2};2m^3+3m^2+\frac{1}{2} \right )\in (\Delta )$ (1)

và $I\equiv B$ (vì $I$ là tâm đối xứng của $(C)$)

Gọi $k$ là hệ số góc của $(\Delta)$, từ (1) suy ra 

$(\Delta ):y=k\left ( x-m-\frac{1}{2} \right )+2m^3+3m^2+\frac{1}{2}=kx+2m^3+3m^2-km-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm :

$2x^3-(6m+3)x^2+(6m^2+6m)x+1=kx-km-\frac{k}{2}+2m^3+3m^2+\frac{1}{2}$

Chuyển vế, biến đổi, cuối cùng được $\left ( x-m-\frac{1}{2} \right )\left [ 2x^2-(4m+2)x+2m^2+2m-k-1 \right ]=0$ (2)

Để (2) có $3$ nghiệm phân biệt thì phải có :

$(-2m-1)^2-2(2m^2+2m-k-1)> 0$ hay $k> -\frac{3}{2}$

 

Vậy nếu $(\Delta)$ có phương trình $y=ax+b$ thì :

$a=k> -\frac{3}{2}$

$b=2m^3+3m^2-km-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$

(Với mỗi giá trị $m$ cho trước có vô số đường thẳng $(\Delta)$ thỏa mãn ĐK đề bài)

 

Rõ ràng khi đó $x=m+\frac{1}{2}$ là một nghiệm của (2) $\Rightarrow (\Delta )$ luôn cắt $(C)$ tại $I\left ( m+\frac{1}{2};2m^3+3m^2+\frac{1}{2} \right )$

Hay nói cách khác, với mỗi giá trị $m$ cho trước có vô số đường thẳng $(\Delta)$ thỏa mãn ĐK đề bài và chúng luôn đi qua điểm cố định $I\left ( m+\frac{1}{2};2m^3+3m^2+\frac{1}{2} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-04-2014 - 16:01

[duc_jerry]

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao $I \in \Delta$ thế bạn? Sao nó không cắt ở một điểm khác tâm đối xứng mà vẫn thoả mãn $AB = BC$?
Mình cảm ơn

[hancongnhu9x]

$\sqrt{}$

[quyennct1250daknong]

Bài giải hay! I thuộc đường thẳng vì I là tâm đối xưngs mà A , C đối xứng qua B nên I trùng B