Bài 1:Tìm $d\in N^{*}$ mà $n^{2}+1$ và $(n+1)^{2}+1$ chia hết cho $d$ với $n$ nào đó.
Bài 2:C/m:$n^{p}-n\vdots p$ với $p\in$ {$3;5;7;11;13$}.Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 3:C/m pt sau k có nghiệm nguyên:
$$(x+2012)^{2}+(x+2010)^{2}=(x+y+z+2008)(y+z-x-2014)$$
Bài 4:Cho $n\in N^{*}$ và $125^{n}+3.25^{n}-4\vdots 2^{2012}$.C/m:$n\vdots 2^{2010}$
Giải như sau:Bài 1: $(n+1)^2+1 \vdots d \Rightarrow n^2+1+2n+1 \vdots d \rightarrow 2n+1 \vdots d$
Mặt khác $n^2+1 \vdots d \Rightarrow 4n^2+4 \vdots d \Rightarrow (2n-1)(2n+1)+5 \vdots d \rightarrow 5 \vdots d \rightarrow d=1,5$
Vậy $d=1,5$
Bài 3: sự ẩn dật ở đây khá là khéo léo
Ta có $(x+2010)^2+(x+2012)^2=(y+z-3+(x+2011))(y+z-3-(x+2011))=(y+z-3)^2-(x+2011)^2$
$\Rightarrow (x+2010)^2+(x+2011)^2+(x+2012)^2=(y+z-3)^2$
Thấy $(x+2010)^2+(x+2011)^2+(x+2012)^2 \equiv 0+1+1 \equiv 2 \pmod{3}$ nên pt vô nghiệm
Bài 4: Đề đúng phải là $2^{2009}$ nhé, vừa đủ, không thừa không thiếu
$(5^n)^3+3.(5^n)^2-4=(5^n-1)(5^n+1)^2 \vdots 2^{2012}$
Ta thấy $5^n+1 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow (5^n+1)^2 \vdots 4 \not \vdots 8$
Suy ra $5^n-1 \vdots 2^{2012-2} \vdots 2^{2010}$
Ta sẽ chứng minh $5^{2^k}-1 \vdots 2^{k+1}$ mà không chia hết cho $2^{k+2}$
Thử $k=1$ đúng hay $5^2-1 \vdots 8$ mà không $\vdots 16$
Giả sử $k=x$ đúng hay $5^{2^x}-1 \vdots 2^{x+1}, \not \vdots 2^{x+2}$
Ta sẽ cm $k=x+1$ cũng đúng hay $5^{2^{x+1}} \vdots 2^{x+2}, \not \vdots 2^{x+3}$
Thật vậy $5^{2^{x+1}}-1=(5^{2^x}-1)(5^{2^x}+1) \vdots 2^{x+1}.2=2^{x+2}, \not \vdots 2^{x+3}$ (do $5^{2^x}+1 \equiv 2 \pmod{4}$)
Suy ra $đpcm$
Như vậy áp dụng vào bài có $n \vdots 2^{2009}$ nên có $đpcm$
