5 replies to this topic

[NLT]

Tìm min của biểu thức $A=\sum _{cyc} \dfrac{a^2}{(a+b)^2} $ với $a,b,c>0$.
___

[WhjteShadow]

Tìm min của biểu thức $A=\sum _{cyc} \dfrac{a^2}{(a+b)^2} $ với $a,b,c>0$.
___

Ta có $A=\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^2}$
Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$ và ta sẽ chứng minh:
$$A=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và giả thiết $xyz=1$ ta có:
$$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{(\frac{x}{y}+1)(xy+1)}+\frac{1}{(\frac{y}{x}+1)(xy+1)}$$
$$=\frac{x}{(x+y)(xy+1)}+\frac{y}{(x+y)(xy+1)}=\frac{1}{xy+1}=\frac{z}{z+1}$$
Vậy $$A\geq \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}$$
$$=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$$
Bài toán được chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c$ $\blacksquare$
Đề nghị: Chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn với $a,b,c>0$:
$$\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\geq \frac{3}{4}+\frac{ab^2+bc^2+ca^2-3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Edited by WhjteShadow, 29-08-2012 - 14:31.

[nthoangcute]

Đề nghị: Chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn với $a,b,c>0$:
$$\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\geq \frac{3}{4}+\frac{a^2b+b^2c+c^2a-3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Hình như đề sai !
Cho $a=1$ và $b=2$ và $c=3$ thì là sai rồi !
__________________________________________
Cách khác cho bài toán gốc:

$\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2$
$=\dfrac{2 a b c(a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-ab^2-b^2c-bc^2-c^2a-ca^2)}{4 (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}$
$+\frac{5{a}^{4}{b}^{2}+5{a}^{2}{c}^{4}+2{a}^{3}{c}^{3}+{a}^{4}{c}^{2}+2
{b}^{3}{a}^{3}+5{b}^{4}{c}^{2}+{b}^{4}{a}^{2}+2{c}^{3}{b}^{3}+{c
}^{4}{b}^{2}-24 a^2b^2c^2}{4 (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2} \geq 0$

Edited by nthoangcute, 29-08-2012 - 13:01.

[WhjteShadow]

Sấu rì,trưa mải đi ngủ nên gõ nhầm ,đã edit.Thêm 1 bài có cách làm gần giống
Đề nghị 2. Chứng minh bất đẳng thức với $a,b,c\in R^{+}$
$$\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}+\frac{a^2b+b^2c+c^2a+abc}{ab^2+bc^2+ca^2+abc}\geq 7$$
Cả 2 bài trên đều có cách làm gần giống bài toán ban đầu!
----------------------------------------------------------------------------------------------------
@To Việt:Sa0 cậu không thử suy nghĩ và tìm tòi 1 lời giải đẹp ch0 bài bất đẳng thức mà phải nấp sau $Maple$ thế

Edited by Ispectorgadget, 29-08-2012 - 18:04.

[NLT]

$P/S$: Cách giải của WhjteShadow là cách giải xuất hiện nhiều nhất ở các tài liệu. Còn cách giải của Việt khá ngắn nhưng các mem có trình độ chưa cao thì khó phân tích được như bạn ý. Liệu còn cách giải nào khác không ?
___

[viet 1846]

Gợi ý: 1 cách khác là sử dụng BĐT \[\sum {\frac{1}{{{x^2} + x + 1}}} \ge 1\]

cho bài của @Nguyen Lam Thinh.