Chủ đề này có 1 trả lời

[tranghieu95]

Cho p là SNT lẻ. CMR:
$$p^2| \sum_{i=0}^{p-1} i^{p-1}+(p-1)!(p-1)$$

[nguyenta98]

Cho p là SNT lẻ. CMR:
$$p^2| \sum_{i=0}^{p-1} i^{p-1}+(p-1)!(p-1)$$

Giải như sau:

Đặt

$1^{p-1}-1 \equiv x_1 \pmod{p^2}$

$2^{p-1}-1 \equiv x_2 \pmod{p^2}$
$....$
$(p-1)^{p-1}-1 \equiv x_{p-1} \pmod{p^2}$
Khi ấy $i^{p-1} \equiv x_i+1 \pmod{p^2} \Rightarrow 1^{p-1}2^{p-1}...(p-1)^{p-1} \equiv (x_1+1)(x_2+1)...(x_{p-1}+1) \pmod{p^2}$
Hay $((p-1)!)^{p-1} \equiv (x_1+1)(x_2+1)...(x_{p-1}+1) \pmod{p^2}$
Mặt khác theo Fermat nhỏ thì $x_1,x_2,...,x_{p-1} \vdots p$ (do $i^{p-1}-1 \vdots p$ Fermat nhỏ)
Ta có $(x_1+1)(x_2+1)...(x_{p-1}+1)=S_{p-1}+S_{p-2}+...+S_2+S_1+1$
Với $S_j=\sum_{1\le i_1,i_2,i_3,...,i_j\le p-1}{x_{i_1}.x_{i_2}...x_{i_j}}$

Mà $x_i \vdots p$ (theo trên) nên do đó $S_j$ với $j\geq 2$ thì $S_j=\sum_{1\le i_1,i_2,i_3,...,i_j\le p-1}{x_{i_1}.x_{i_2}...x_{i_j}} \vdots p^2$ (do $x_{i_1}.x_{i_2}...x_{i_j} \vdots p^2$ vì $j\geq 2$
Như vậy $S_{p-1},S_{p-2},...,S_2 \vdots p^2$ nên $(x_1+1)(x_2+1)...(x_{p-1}+1) \equiv S_1+1=x_1+x_2+...+x_{p-1}+1 \pmod{p^2}$

Do đó $((p-1)!)^{p-1} \equiv x_1+x_2+...+x_{p-1}+1 \pmod{p^2}$
Mặt khác $x_i \equiv i^{p-1}-1 \pmod{p^2}$ nên $((p-1)!)^{p-1} \equiv 1^{p-1}-1+2^{p-1}-1+...+(p-1)^{p-1}-1+1 =1^{p-1}+...+(p-1)^{p-1}-(p-2) \pmod{p^2}$
Như vậy $1^{p-1}+....+(p-1)^{p-1} \equiv ((p-1)!)^{p-1}+(p-2) \pmod{p^2}$
Do đó để cm
$p^2| \sum_{i=0}^{p-1} i^{p-1}+(p-1)!(p-1)$ ta chỉ cần cm $((p-1)!)^{p-1}+(p-2)+(p-1)!(p-1) \vdots p^2$
Ta có theo định lý Wilson suy ra $(p-1)!+1 \vdots p$ nên $p!+p \vdots p^2$
Do đó cần cm $((p-1)!)^{p-1}+(p-2)+p!-(p-1)! \vdots p$ hay $((p-1)!)^{p-1}+(p-2)-p-(p-1)! \vdots p^2$ hay $((p-1)!)^{p-1}-(p-1)!-2 \vdots p^2$
Mặt khác cũng theo Wilson $(p-1)!+1 \vdots p$ nên $(p-1)!+1=pk$ với $k\in N$
Khi ấy cần cm $(pk-1)^{p-1}-pk-1 \vdots p^2$

Mặt khác $(pk-1)^{p-1}=(pk)^{p-1}-C_{p-1}^1.(pk)^{p-2}+....-C_{p-1}^{p-2}.pk+1$

Do đó chỉ cần cm $-C_{p-1}^{p-2}.pk+1-pk-1 \vdots p^2$ hay $-C_{p-1}^{p-2}.pk-pk \vdots p^2 \Rightarrow (p-1)pk+pk \vdots p^2 \Rightarrow p^2k \vdots p^2$ hiển nhiên đúng

Bài toán được cm hoàn toàn với $p \in P>2$