Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Chứng minh 4 đẳng thức sau $\forall x,y \in \mathbb{R},y \neq 0$:

• $\sum_{k=0}^{n}\sin{(x+ky)}=\frac{\sin{\frac{(n+1)y}{2}}\sin{\left(x+\frac{ny}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$.
• $\sum_{k=0}^{n}\cos{(x+ky)}=\frac{\sin{\frac{(n+1)y}{2}}\cos{\left(x+\frac{ny}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$.
• $\sum_{k=1}^{n}\sin{kx}=\frac{\sin{\frac{nx}{2}}\sin{\frac{(n+1)x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}}$.
• $\sum_{k=1}^{n}\cos{kx}=\frac{\sin{\frac{nx}{2}}\cos{\frac{(n+1)x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-09-2012 - 20:25

[Ispectorgadget]

$\sum_{k=0}^{n}\sin{(x+ky)}=\frac{\sin{\frac{(n+1)y}{2}}\sin{\left(x+\frac{ny}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$.

Những bài này có thể dùng phương pháp quy nạp hoặc dùng phương pháp hiệu số.
Ở đây mình dùng cách hiệu số
Gọi S là tổng.
$$\large{\begin{align*}
&S.\sin\frac{y}{2}=\sin x.\sin \frac{y}{2}+...+\sin(x+ny).\sin\frac{y}{2} \\
&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\cos (x-\frac{y}{2})-cos(x+\frac{y}{2})
\end{bmatrix}+...+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\cos (x-\frac{y}{2})-\cos(x+\frac{2n+y}{2})
\end{bmatrix}\\
&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\cos (x-\frac{y}{2})-\cos (x+\frac{2ny+y}{2})
\end{bmatrix}\\
&= -\frac{1}{2}.2\sin (x+\frac{ny}{2})\sin (\frac{-ny-y}{2})\\
&= \sin (x+\frac{ny}{2})\sin (\frac{ny+y}{2})
\end{align*}}$$
$$\large{\Rightarrow S=\frac{\sin(x+\frac{ny}{2})\sin (\frac{ny+y}{2})}{\sin \frac{y}{2}}}$$