Chủ đề này có 2 trả lời

[namcpnh]

Bài 1:

Cho dãy số xác định như sau:

$u_{1}=1,u_{2}=3,$
$u_{3}=4,u_{4}=6,u_{5}=8,$
$u_{6}=9,u_{7}=11,u_{8}=13,u_{9}=15,$
$u_{10}=16,u_{11}=18,u_{12}=20,u_{13}=22,u_{14}=24$
$u_{15}=25,u_{16}=27,u_{17}=29,u_{18}=31,u_{19}=33,u_{20}=35$
.......................
Tìm số hạng tổng quát của dãy.

Bài 2:

Cho dãy số:

$u_{1}=1^{2}$
$u_{2}=2^{2}+4^{2}$
$u_{3}=5^{2}+7^{2}+9^{2}$
$u_{4}=10^{2}+12^{2}+14^{2}+16^{2}$
$u_{5}=17^{2}+19^{2}+21^{2}+23^{2}+25^{2}$
$u_{6}=26^{2}+28^{2}+30^{2}+32^{2}+34^{2}+36^{2}$
............
Tìm số hạng tổng quát của dãy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 23-09-2012 - 14:14

[perfectstrong]

Bài 2:
Mình nghĩ $u_5=17^2+19^2+21^2+23^2+25^2$.

Dễ thấy $u_n=x_n^2 +(x_n+2)^2+...+(x_n+2n-2)^2$ với $x_n$ là số hạng thứ $n$ trong dãy $(x_n)$ xác định bởi 1 đa thức sao cho $x_1=1;x_2=2;x_3=5;x_4=10;x_5=11;x_6=...$
Suy ra
\[
\begin{array}{l}
u_n = \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {\left( {n^2 - 2n + 2 + 2j} \right)^2 } \\
= \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {\left( {n^4 - 4n^3 + 4\left( {2 + j} \right)n^2 - 8\left( {j + 1} \right)n + 4 + 4j^2 } \right)} \\
= n\left( {n^4 - 4n^3 + 4} \right) + 4n^2 \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {\left( {j + 2} \right)} - 8n\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {\left( {j + 1} \right)} + 4\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {j^2 } \\
= n^5 - 4n^4 + 4n + 4n^2 .\frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2} - 8n.\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + 4.\frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {2n - 1} \right)}}{6} \\
= n^5 - 2n^4 - 6n^2 + \frac{{10n^3 + 14n}}{3} \\
\end{array}
\]

[hxthanh]

Bài 1:

Cho dãy số xác định như sau:

$u_{1}=1,u_{2}=3,$
$u_{3}=4,u_{4}=6,u_{5}=8,$
$u_{6}=9,u_{7}=11,u_{8}=13,u_{9}=15,$
$u_{10}=16,u_{11}=18,u_{12}=20,u_{13}=22,u_{14}=24$
$u_{15}=25,u_{16}=27,u_{17}=29,u_{18}=31,u_{19}=33,u_{20}=35$
.......................
Tìm số hạng tổng quát của dãy.

Ta nhóm các số hạng của dãy thành các nhóm sau:

$(1,3);(4,6,8);(9,11,13,15);(16,18,20,22,24); ...$

 

Nhóm $1$ có $2$ số hạng; Nhóm $2$ có $3$ số hạng;...; Nhóm $k$ có $(k+1)$ số hạng.

 

So với dãy $\{2n\}_{n\ge1}\;:\;\{2,4,6,8,10,12,14,16,...\}$

thì cứ chạy qua mỗi nhóm thì các số hạng của $u_n$ lại giảm giá trị đi $1$

Nói cách khác: $u_n=2n-k$ trong đó $k$ là số thứ tự nhóm của $u_n$

 

Giả sử $u_n$ thuộc nhóm $k$, nghĩa là, phía trước của $u_n$ có $k-1$ nhóm, tổng số các số hạng từ nhóm $1$ đến nhóm $k-1$ là:

$2+3+...+k=\dfrac{k(k+1)}{2}-1$

Như vậy chỉ số $n$ sẽ phải thỏa mãn

$\dfrac{k(k+1)}{2}\le n \le \dfrac{k(k+1)}{2}+k$

 

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{8n+9}-3}{2}\le k \le \dfrac{\sqrt{8n+1}-1}{2}$

$\Rightarrow k=\left\lfloor\dfrac{\sqrt{8n+1}-1}{2}\right\rfloor$

 

Và cuối cùng ta có số hạng tổng quát của dãy là:

$$u_n=2n-\left\lfloor\dfrac{\sqrt{8n+1}-1}{2}\right\rfloor$$