Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán:
Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z,t$ thỏa mãn phương trình $2^x.3^y+5^z=7^t$

[nguyenta98]

Bài toán:
Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z,t$ thỏa mãn phương trình $2^x.3^y+5^z=7^t$

Giải như sau:
Do $x,y,z,t$ nguyên dương nên $2^x.3^y \vdots 3, 7^t \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 5^z \equiv 1 \pmod{3} \rightarrow z=2k$
TH1: $x\geq 2 \rightarrow 2^x.3^y \vdots 4, 5^z \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow 7^t \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow t=2q$
Khi ấy $2^x.3^y=(7^q-5^k)(7^q+5^k)$
Ta thấy $gcd(7^q,5^k)=1 \rightarrow gcd(7^q-5^k,7^q+5^k)=1,2$ nhưng chúng cùng chẵn nên $gcd(7^q-5^k,7^q+5^k)=2$
Điều đó cũng có nghĩa là trong hai số đó chỉ có một số chia hết cho $2^{x-1}$ còn số còn lại chia $4$ dư $2$
Và $gcd(7^q-5^k,7^q+5^k)=2$ suy ra trong hai số chỉ có một số chia hết cho $3^y$
Do đó ta xét hiệu $7^q+5^k-(7^q-5^k)=2.5^k$
Và hiệu đó chỉ nhận một trong các giá trị sau $|3^y.2^{x-1}-2|,|3^y.2-2^{x-1}|$
Nếu $2.5^k=|3^y.2^{x-1}-2|$ khi ấy dễ thấy $y,x$ nguyên dương nên $3^y.2^{x-1}>2 \Rightarrow 2.5^k=3^y.2^{x-1}-2$ và ngoài ra $2.5^k$ chẵn nên $x-1>0 \rightarrow x\geq 2$
$\Rightarrow 5^k=3^y.2^{x-2}-1$
$\Rightarrow 5^k+1=3^y.2^{x-2}$
Thấy $5^k+1 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow 2^{x-2} \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3$
Khi ấy $5^k+1=3^y.2$ như vậy $k=1$ thì $y=1$ và từ đó có bộ nghiệm $(x,y,z,t)$ thỏa mãn (các bạn tự tính)
Còn nếu $k>1 \Rightarrow y>1$ ta có $5^k+1 \vdots 3^y$
Khi ấy $k$ lẻ, ta sẽ cm $5^{3^{y-1}}+1 \vdots 3^y$ mà $\not \vdots 3^{y+1}$
Thấy $y=1$ đúng
Giả sử $y=m$ đúng hay $5^{3^{m-1}}+1 \vdots 3^m$ mà $\not \vdots 3^{m+1}$
Ta sẽ cm $y=m+1$ đúng hay $5^{3^{m}}+1 \vdots 3^{m+1}$ mà $\not \vdots 3^{m+2}$
Thật vậy $5^{3^{m}}+1=(5^{3^{m-1}}+1)(5^{2.3^{m-1}}-5^{3^{m-1}}+1)$
Dễ cm $5^{2.3^{m-1}}-5^{3^{m-1}}+1 \vdots 3$ nhưng không $ \vdots 9$ khi ấy kết hợp cả GTQN có ngay đpcm
Như vậy ta có khẳng định $5^{3^{y-1}}+1 \vdots 3^y$ mà $\not \vdots 3^{y+1}$
Mặt khác ta có $5^k+1 \vdots 3^y \Rightarrow 5^{2k}-1 \vdots 3^y$ và ta cũng có từ trên $5^{2.3^{y-1}}-1 \vdots 3^y$ mà $\not \vdots 3^{y+1}$
Khi ấy dễ thấy $2.3^{y-1}$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $5^{2.3^{y-1}}-1 \vdots 3^y$ mà $\not \vdots 3^{y+1}$ thật vậy nếu giả sử có số $r$ nhỏ hơn khi ấy $5^r-1 \vdots 3^y \Rightarrow r$ chẵn mà theo tính chất quen thuộc thì $r|2.3^{y-1} \Rightarrow r=2.3^{g-1}$ với $g<y$
Suy ra $5^{2.3^{g-1}}-1 \vdots 3^y$ mà ta đã cm $5^{2.3^{g-1}}-1 \vdots 3^g$ mà $\not \vdots 3^{g+1}$ khi ấy $g<y$ nên vô lý
Do đó $2.3^{y-1}$ là số nhỏ nhất thỏa mãn hay khi ấy theo bổ đề quen thuộc thì $2k \vdots 2.3^{y-1} \Rightarrow k \vdots 3^{y-1}$
Suy ra $5^k+1 \geq 5^{3^{y-1}}+1>3^y.2$ (dễ dàng cm quy nạp) suy ra vô nghiệm
Nếu $2.5^k=|3^y.2-2^{x-1}|$ khi đó ta không xét thế này mà xét $2.7^q=3^y.2+2^{x-1} \Rightarrow 7^q=3^y+2^{x-2} \Rightarrow 2^{x-2} \equiv 1 \pmod{3} \rightarrow x-2$ chẵn
Trở lại $2.5^k=3^y.2-2^{x-1}$ hoặc $2.5^k=2^{x-1}-3^y.2$
Khi $2.5^k=3^y-2^{x-1} \Rightarrow 5^k+2^{x-2}=3^y$ nếu $x-2=0$ thì $5^k+1=3^y$ thì lại cm như trên $k\geq 3^{y-1}$ khi ấy $5^{k}+1>3^y$ vô lý
Do đó $x-2>0$ mà đã cm $x-2$ chẵn nên $x-2\geq 2$ khi ấy $5^k+2^{x-2} \equiv 1 \pmod{4} \rightarrow 3^y \equiv 1 \pmod{4} \rightarrow y$ chẵn do đó $x-2=2u,y=2v$ khi ấy $5^k=(3^v-2^u)(3^v+2^u)$
$\rightarrow 3^v+2^u=5^p,3^v-2^u=5^q \Rightarrow 5^p-5^q=2^{u+1} \Rightarrow 5^q(5^{p-q}-1)=2^{u+1} \rightarrow q=1$ khi ấy $5^{p-q}-1=2^{u+1}$ bằng chứng minh quy nạp tương tự như trên ta có được $5^{2^{u-1}}-1 \vdots 2^{u+1}$ mà không chia hết cho $2^{u+2}$ và khi đó cũng cm tương tự là $2^{u-1}$ là số nhỏ nhất thỏa mãn khi ấy $p-q \vdots 2^{u-1} \Rightarrow 5^{p-q}-1\geq 5^{2^{u-1}}-1\geq 2^{u+1}$ và dấu $=$ khi $p-q=1,u=2$ và kể từ đó thì $5^{2^{u-1}}-1>2^{u+1}$ (cm quy nạp)
Khi $2.5^k=2^{x-1}-2.3^y \rightarrow 5^k+3^y=2^{x-2}$ và thấy ở trên đã cm được rằng $x-2$ chẵn khi đó $2^{x-2} \equiv 1 \pmod{3} \rightarrow 5^k \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow k$ chẵn khi đó $k=2c,x-2=2d \rightarrow 3^y=(2^d-5^c)(2^d+5^c)$
Do đó $2^d-5^c=3^h,2^d+5^c=3^k \Rightarrow 2^{d+1}=3^k-3^h \Rightarrow h=0 \rightarrow 2^{d+1}=3^k-1$ suy ra $2^{d+1}+1 \vdots 3^k$ và chứng minh tương tự trên có $2^{d+1}+1\geq 2^{3^{k-1}}+1\geq 3^k$ và dấu $=$ khi $k=1,2$ và kể sau đó thì dấu $=$ không xảy ra hay BDT lớn thực sự (cm quy nạp)
Như vậy ta xử lý xong phần này
TH2: $x=1 \rightarrow 2.3^y+5^z=7^t \Rightarrow 5^z \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow z=2r$ khi ấy $5^z \equiv 1 \pmod{8}$
Mặt khác dễ thấy $t$ lẻ vì nếu $t$ chẵn thì $7^t-5^z \vdots 4$ trong khi $2.3^y \equiv 2 \pmod{4}$ vô lý
Như vậy $t$ lẻ và khi đó $7^t-5^q \equiv -1-1 \equiv -2 \pmod{8} \Rightarrow 2.3^y \equiv -2 \pmod{8} \Rightarrow 3^y \equiv -1 \pmod{8} \rightarrow y$ lẻ
Mặt khác ta có $7^t$ lẻ nên $t=4k+1,4k+3$
Nếu $t=4k+1 \rightarrow 7^t \equiv 2 \pmod{5} \Rightarrow 3^y \equiv 1 \pmod{5}$ suy ra $y=4k$ chẵn vô lý với đã cm $y$ lẻ
Nếu $t=4k+3 \rightarrow 7^t \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow 3^y \equiv 4 \pmod{5}$ suy ra $y=4k+2$ chẵn vô lý đã cm $y$ lẻ
Do đó ta giải trọn vẹn bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-09-2012 - 17:26