Chứng minh rằng ta luôn sắp được các số 1, 2, …, p-1 trên một vòng tròn sao cho với 3 số a, b, c liên tiếp ta luôn có ac – b2 chia hết cho p.
#1
Đã gửi 08-09-2012 - 21:59
#2
Đã gửi 15-03-2013 - 23:07
Lấy $x\in \left \{ 1;2;3;...;p-1 \right \}$ sao cho $x$ là căn nguyên thủy mod p.Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng ta luôn sắp được các số 1, 2, …, p-1 trên một vòng tròn sao cho với 3 số a, b, c liên tiếp ta luôn có ac – b2 chia hết cho p.
Khi đó $ord_px=\varphi (p)=p-1$
Xét $A=\left \{ 0;x;x^2;...;x^{p-1} \right \}$
Nhận thấy $A$ có $p$ phần tử,hiệu 2 phần tử phân biệt bất kì có dạng $x^k$ hoặc $x^k(x^h-1)(h;k\in N^*;h;k<p-1)$ đều không chia hết cho $p$
Do đó A là hệ thặng dư đầy đủ mod p
Gọi $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ là một bộ hoán vị của $(1;2;...;p-1)$ sao cho:
$$x\equiv x_1(mod p)$$
$$x^2\equiv x_2(mod p)$$
$$..................$$
$$x^{p-1}\equiv x_{p-1}(mod p)$$
Sắp xếp $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ theo thứ tự trên vòng tròn,ta sẽ có một vòng tròn thỏa mãn bài toán.
- yeutoan11, BlackSelena và WhjteShadow thích
#3
Đã gửi 16-03-2013 - 00:01
Cách giải này bắt chước bài thi trường ĐHSP Hà Nội năm 1991-1992 vòng 2, nhưng dù sao ý tưởng cũng tốtLấy $x\in \left \{ 1;2;3;...;p-1 \right \}$ sao cho $x$ là căn nguyên thủy mod p.
Khi đó $ord_px=\varphi (p)=p-1$
Xét $A=\left \{ 0;x;x^2;...;x^{p-1} \right \}$
Nhận thấy $A$ có $p$ phần tử,hiệu 2 phần tử phân biệt bất kì có dạng $x^k$ hoặc $x^k(x^h-1)(h;k\in N^*;h;k<p-1)$ đều không chia hết cho $p$
Do đó A là hệ thặng dư đầy đủ mod p
Gọi $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ là một bộ hoán vị của $(1;2;...;p-1)$ sao cho:
$$x\equiv x_1(mod p)$$
$$x^2\equiv x_2(mod p)$$
$$..................$$
$$x^{p-1}\equiv x_{p-1}(mod p)$$
Sắp xếp $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ theo thứ tự trên vòng tròn,ta sẽ có một vòng tròn thỏa mãn bài toán.
- WhjteShadow yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh