Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng ta luôn sắp được các số 1, 2, …, p-1 trên một vòng tròn sao cho với 3 số a, b, c liên tiếp ta luôn có ac – b2 chia hết cho p.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng ta luôn sắp được các số 1, 2, …, p-1 trên một vòng tròn sao cho với 3 số a, b, c liên tiếp ta luôn có ac – b2 chia hết cho p.

#2
Near

Near

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng ta luôn sắp được các số 1, 2, …, p-1 trên một vòng tròn sao cho với 3 số a, b, c liên tiếp ta luôn có ac – b2 chia hết cho p.

Lấy $x\in \left \{ 1;2;3;...;p-1 \right \}$ sao cho $x$ là căn nguyên thủy mod p.
Khi đó $ord_px=\varphi (p)=p-1$
Xét $A=\left \{ 0;x;x^2;...;x^{p-1} \right \}$
Nhận thấy $A$ có $p$ phần tử,hiệu 2 phần tử phân biệt bất kì có dạng $x^k$ hoặc $x^k(x^h-1)(h;k\in N^*;h;k<p-1)$ đều không chia hết cho $p$
Do đó A là hệ thặng dư đầy đủ mod p
Gọi $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ là một bộ hoán vị của $(1;2;...;p-1)$ sao cho:
$$x\equiv x_1(mod p)$$
$$x^2\equiv x_2(mod p)$$
$$..................$$
$$x^{p-1}\equiv x_{p-1}(mod p)$$
Sắp xếp $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ theo thứ tự trên vòng tròn,ta sẽ có một vòng tròn thỏa mãn bài toán.
_____________________I am the heir of L__________________________

#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Lấy $x\in \left \{ 1;2;3;...;p-1 \right \}$ sao cho $x$ là căn nguyên thủy mod p.
Khi đó $ord_px=\varphi (p)=p-1$
Xét $A=\left \{ 0;x;x^2;...;x^{p-1} \right \}$
Nhận thấy $A$ có $p$ phần tử,hiệu 2 phần tử phân biệt bất kì có dạng $x^k$ hoặc $x^k(x^h-1)(h;k\in N^*;h;k<p-1)$ đều không chia hết cho $p$
Do đó A là hệ thặng dư đầy đủ mod p
Gọi $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ là một bộ hoán vị của $(1;2;...;p-1)$ sao cho:
$$x\equiv x_1(mod p)$$
$$x^2\equiv x_2(mod p)$$
$$..................$$
$$x^{p-1}\equiv x_{p-1}(mod p)$$
Sắp xếp $(x_1;x_2;...x_{p-1})$ theo thứ tự trên vòng tròn,ta sẽ có một vòng tròn thỏa mãn bài toán.

Cách giải này bắt chước bài thi trường ĐHSP Hà Nội năm 1991-1992 vòng 2, nhưng dù sao ý tưởng cũng tốt




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh