Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \to \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau :
1/ $\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right ) = 1$
2/ $\lim_{n\to +\infty}F(n)=0$
3/ Hàm $ \frac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$
Chứng minh các khẳng định sau :
a/ Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi : $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về một số thực $x$ nào đó.
b/ Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi: $ u_n = \frac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó .
Bài này ai giải đúng ; mình sẽ có 1 phần thưởng nhỏ
Xin thay ký hiệu $x$ trong đề bài bằng $X$ để tránh nhầm lẫn về mặt ký hiệu (sự thay đổi này không ảnh hưởng đến nội dung bài toán)
Hàm $f$ khả vi trên $\left ( 0;+\infty \right )$ do đó trên $\left ( 0;+\infty \right )$, hàm $f$ có đạo hàm và liên tục.
$a)$
$f(n)> 0,\forall n\Rightarrow (x_{n})$ là dãy tăng.
Trên $\left ( 0;+\infty \right )$, hàm $f$ giảm và liên tục nên ta có :
$f(2)< \int_{1}^{2}f(x)dx$
$f(3)< \int_{2}^{3}f(x)dx$
........................................
$f(n)< \int_{n-1}^{n}f(x)dx$
Suy ra $x_{n}< f(1)+\int_{1}^{n}f(x)dx=f(1)+F(n)-F(1)$
Vì $f(x)$ liên tục và đơn điệu giảm, và $f(n)> 0,\forall n\Rightarrow f(x)> 0,\forall x> 0\Rightarrow F(n)$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow F(n)<\lim_{n\to+\infty}F(n)=0,\forall n$
Do đó ta có $x_{n}<f(1)+F(n)-F(1)<f(1)-F(1),\forall n$ (dãy $(x_{n})$ bị chặn trên)
Chú ý $f(1)-F(1)> 0$ (vì $f(1)> 0$ ; $F(1)< 0$)
Dãy $(x_{n})$ tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn, tức là nó hội tụ.Giả sử nó hội tụ tại $X$ ($X> 0$), ta có
$X=\lim x_{n}<f(1)-F(1)$ (vì $\lim_{n\to+\infty}F(n)=0$)
Vậy dãy $(x_{n})$ hội tụ về số thực $X$ (với $0<X<f(1)-F(1)$)
$b)$
Trước tiên nhận xét rằng $u_{n}< 0,\forall n$ (vì $F(n)< 0,\forall n$ như lập luận ở trên)
Và $f'(x)< 0,\forall x>0$ (vì hàm $f$ giảm trên $(0;+\infty)$) nên
Hàm $\frac{f'}{f}$ tăng trên $(0;+\infty)$ $\Rightarrow \frac{f(n+1)-f(n)}{f(n)}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{f(n)}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{f(n)+f(n+1)}$ tăng khi $n$ tăng (1)
Ta gọi $T_{n}$ là hình thang cong giới hạn bởi các đường $x=n$ ; $x=n+1$ ; $y=f(x)$ ; $y=0$
$\Rightarrow S(T_{n})\approx \frac{f(n)+f(n+1)}{2}$
(1) $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{S(T_{n})}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{S(T_{n})}< \frac{f(n+2)}{S(T_{n+1})}< \frac{f(n+3)}{S(T_{n+2})}< ...$ (2)
$\left | u_{n} \right |=\frac{X-x_{n}}{-F(n)}=\frac{f(n+1)+f(n+2)+...}{\left [ F(n+1)-F(n) \right ]+\left [ F(n+2)-F(n+1) \right ]+...}=\frac{f(n+1)+f(n+2)+...}{S(T_{n})+S(T_{n+1})+...}$ (3)
(tử và mẫu đều là tổng vô hạn.Mẫu có thể viết như thế vì $\lim_{n\to+\infty}F(n)=0$)
Tương tự $\left | u_{n+1} \right |=\frac{f(n+2)+f(n+3)+...}{S(T_{n+1})+S(T_{n+2})+...}$ (4)
(2),(3),(4) $\Rightarrow \left | u_{n} \right |< \left | u_{n+1} \right |,\forall n$
Vì $u_{n}< 0,\forall n$ nên suy ra dãy $(u_{n})$ giảm nghiêm ngặt.
Theo lập luận trên, khi $n$ tiến đến vô cùng thì hình thang cong $T(n)$ trở thành hình chữ nhật $C$ có một chiều bằng $1$, chiều kia bằng $f(n+1)$ (vì khi đó $f(n)-f(n+1)\rightarrow 0$) nên $S(C)=f(n+1)$.Ta có :
$\lim \left | u_{n} \right |=\lim\frac{f(n+1)}{S(C)}=\lim\frac{f(n+1)}{f(n+1).1}=1$
Mà $u_{n}< 0,\forall n$ nên suy ra dãy $(u_{n})$ hội tụ về $-1$, tức là $\lim u_{n}=-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-05-2014 - 20:51