Chủ đề này có 24 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 14/09/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 4 có 21 toán thủ tham gia nên sau trận này, 01 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[E. Galois]

Tùy theo giá trị của $a$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$F = (x + 2y + 1)^2 + (2x + ay + 5 )^2$$

(Đề của BTC)

[daovuquang]

Bài làm của daovuquang:
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: $a\neq 4$:
Ta có: $F=(x+2y+1)^2+(2x+ay+5)^2\geq 0$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+2y+1=0\; (1)\\
2x+ay+5=0\; (2)
\end{matrix}\right.$
Từ $(1)\Rightarrow x=-2y-1\; (3)$.
Thay $(3)$ vào $(2)$, ta được: $2(-2y-1)+ay+5=0$
$\Leftrightarrow (a-4)y=-3$
$\Leftrightarrow y=\frac{3}{4-a}$.
Thay vào $(3)$ được: $x=\frac{6}{a-4}-1$.
TH2: $a=4$:
Khi đó, $F=(x+2y+1)^2+(2x+4y+5)^2.$
Áp dụng Cauchy-Schwarz: $[(x+2y+1)^2+(2x+4y+5)^2][(-2)^2+1]\geq[-2(x+2y+1)+(2x+4y+5)]^2=9$
$\Rightarrow F\geq \frac{9}{5}$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x+2y+1}{-2}=\frac{2x+4y+5}{1}$
$\Leftrightarrow 5x+10y+11=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}(-10y-11)$.
Kết luận:
Với $a\neq 4$thì min $F=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{6}{a-4}-1\\
y=\frac{3}{4-a}
\end{matrix}\right.$
Với $a=4$ thì min $F=\frac{9}{5} \Leftrightarrow x=\frac{1}{5}(-10y-11)$.
----
$S=52-(22-21)+3.10+3.10+0=111$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 22:42

[Tru09]

Bài làm của Tru09
Vì $(x+2y+1)^2 \geq 0 \forall x,y$
Và $(2x+ay+5)^2 \geq 0 \forall x,y,a$
$F=(x+2y+1)^2 +(2x+ay+5)^2 \geq 0 \forall x,y,a$
Dấu $=$ sảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2y+1=0 & \\ 2x+ay+5=0 & \end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1-2y (1) & \\ 2x+ay+5=0 (2)& \end{matrix}\right. $
Thế $(1)$ và $(2)$
$\Leftrightarrow -2-4y +ay +5 =0$
$\Leftrightarrow y(a-4) +3 =0$
$\Leftrightarrow y(a-4) =-3 (3)$
** Xét $a=4$
$\Rightarrow 0 =-3 :\text{Vô lý}$
** Xét $a \neq 4$
Từ $(3)$ Ta có :$y= \frac{-3}{a-4}$
$\Rightarrow x =\frac{-10-a}{a-4}$ (nhầm dấu?)
Vậy Min $F =0$ Với $\left\{\begin{matrix}x =\frac{-10-a}{a-4} & \\ y= \frac{-3}{a-4} (2)& \end{matrix}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 22:46

[Tru09]

Bài làm của Tru09 ( Bài chính thức)
Giải:
Ban đầu ta xét $a=4$
$\Rightarrow F =(x+2y+1)^2 +(2x+4y+5)^2=x^2 + 4y^2 +1 +4xy +2x+4y +4x^2 +16y^2 +25 +16xy +20x +40y =5x^2 +20y^2 +22x +44y+20xy+26 =5(x+2y)^2 +22(x+2y) +26 =5[(x+2y)^2 +2(x+2y)\frac{11}{5} +\frac{121}{25}-\frac{121}{25})]+26 =5(x+2y+\frac{11}{5})^2 -\frac{121}{5} +26 \geq \frac{9}{5} $
Dấu "$=$" sảy ra $\Leftrightarrow x+2y+\frac{11}{5} =0$
$\Leftrightarrow x+2y =\frac{-11}{5}$
Sau đó ta xét $a \neq 4$
Ta có:
$(x+2y+1)^2 \geq 0 \forall x,y$
$(2x+ay+5)^2 \geq 0 \forall x,y,(a \neq 4)$
$\Rightarrow F \geq 0 \forall x,y,(a \neq 4)$
Dấu "$=$" Sảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2y+1 =0 & \\ 2x+ay+5 =0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1-2y (1)& \\ 2x+ay+5 =0 (2)& \end{matrix}\right.$
Thay (1) vào (2)
$\Leftrightarrow -2-4y +ay +5 =0$
$\Leftrightarrow y(a-4)=-3$
$\Leftrightarrow y =\frac{-3}{a-4} :\text{Vì $a \neq 4$}$
$\Rightarrow x =\frac{10-a}{a-4}$
Tóm lại :
** Với $a=4$ thì Min $F =\frac{9}{5} \Leftrightarrow x+2y+\frac{11}{5} =0$
**Với $a\neq 4$ thì Min $F =0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10-a}{a-4} & \\ y=\frac{-3}{a-4} & \end{matrix}\right.$
----
$S=52-(23-21)+3.10+10+0=90$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 22:43

[thanhluong]

Nếu $a=4$:

Ta có $F=(x+2y+1)^2+(2x+4y+5)^2$.

Đặt $x+2y+1=k$ $\Rightarrow F=k^2+(2k+3)^2=5k^2+12k+9=5(k+\frac{6}{5})^2+\frac{9}{5} \geq \frac{9}{5}$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow k=-\frac{6}{5}$

$\Leftrightarrow x+2y=-\frac{11}{5}$

Nếu $a \neq 4$:

Ta có $F=(x+2y+1)^2+(2x+ay+5)^2 \geq 0+0=0$ $\forall x, y$.

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x+2y+1=0$ và $2x+ay+5=0$.
$\Leftrightarrow 2x+4y+2=0$ và $2x+ay+5=0$

$\Rightarrow (2x+4y+2)-(2x+ay+5)=0$

$\Rightarrow y=\frac{3}{4-a}$.

$\Rightarrow x=\frac{10-a}{a-4}$

Vậy: Nếu $a=4$ thì $\min{F}=\frac{9}{5}$ tại $x=-\frac{11}{5}-2y$ (Với $y$ là số thực bất kỳ).

Nếu $a \neq 4$ thì $\min{F}=0$ tại $x=\frac{10-a}{a-4}$ và $y=\frac{3}{4-a}$.
----
$S=52-(23-21)+3.10+10+0=90$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 22:47

[BlackSelena]

Bài làm của MSS01 - BlackSelena
Ta có
$F = \dfrac{[(-2)^2 + 1] . F}{5}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:
$\dfrac{[(-2)^2 + 1] . F}{5} \geq \dfrac{(-2x - 4y +-2 + 2x + ay + 5)^2}{5} = \dfrac{[y(a-4) + 3]^2}{5}$
TH1: $ a= 4$ thì min $F = \dfrac{9}{5}$
Dấu = xảy ra khi $\dfrac{-2}{x+2y+1} = \dfrac{1}{2x+ay+5}$
$\Leftrightarrow x + 2y + 1 = -4x - 2ay - 10$
$\Leftrightarrow 5x = -2y - 8y - 11$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{-10y - 11}{5}$
TH2: Với $a \neq 4$ thì min $F = 0$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-3}{a-4}\\ \dfrac{-2}{x+2y+1} = \dfrac{1}{2x+ay+5} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow -4x - \dfrac{6a}{4-a} -10 = x + \dfrac{6}{4-a} + 1$
$\Leftrightarrow -5x = \dfrac{6+6a}{4-a} + 11$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{10-a}{a-4}$.
$\boxed{\text{Kết luận}}:$
+ Với $a= 4$ thì min $F = \dfrac{9}{5}$, đẳng thức xảy ra khi $x = \dfrac{-10y - 11}{5}$
+ Với $a \neq 4$ thì min $F = 0$, đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}
y = \dfrac{-3}{a-4}\\
x = \dfrac{10-a}{a-4}
\end{matrix}\right.$
----
$S=52-(24-21)+3.10+10=89$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 22:51

[minhhieukaka]

mình chưa làm xong mà không biết tại sao nó lại gửi nhỉ. Xin lỗi BTC nhờ BTC xoá hộ bài cũ của em với

[daovuquang]

Mở rộng 1: Nhận thấy $x,y$ bình đẳng với nhau, ta có đề bài sau: Tìm min $F=(2x+y+1)^2+(ax+2y+5)^2$.
Giải tương tự bài gốc.

[minhhieukaka]

Lời giải chính thức của mình như sau
Ta có:
F = $(x+2y+1)^{2}+(2x+ay+5)^{2}$
<=> F = $x^{2}+4y^{2}+1+4xy+4y+2x+1+4x^{2}+a^{2}y^{2}+25+4axy+10ay+20x$
<=> F = $5x^{2}+(a^{2}+4)y^{2}+4(a+1)xy+(4+10a)y+22x+26$
<=> $\frac{1}{5}F= x^{2}+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4(a+1)}{5}xy+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
<=>$\frac{1}{5}F= $x^{2}+2x(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
<=>$\frac{1}{5}F= x^{2}+2x(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})+(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}-(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
<=>$\frac{1}{5}F= (x+\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}-(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
Đặt A = $-(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
Ta có
A= $-(\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
<=> A= $-(\frac{4(a+1)^{2}}{25}y^{2}+\frac{44(a+1)}{25}y+\frac{121}{25})+\frac{a^{2}+4}{5}y^{2}+\frac{4+10a}{5}y+\frac{26}{5}$
<=>A = $\frac{5(a^{2}+4)-4(a+1)^{2}}{25}y^{2}-\frac{44(a+1)-20-50a}{25}y+\frac{9}{25}$
<=>A= $(\frac{a-4}{5})^{2}y^{2}+6\frac{a-4}{5}y+\frac{9}{25}$
<=> A= $(\frac{a-4}{5})^{2}y^{2}+6\frac{a-4}{5}y+9-\frac{216}{25}$ / Thế A tìm đc vào F có
=>$\frac{1}{5}F= (x+\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}+(\frac{a-4}{5}y+3)^{2}-\frac{216}{25}$
<=> F = $5(x+\frac{2(a+1)}{5}y+\frac{11}{5})^{2}+5(\frac{a-4}{5}+3)^{2}-\frac{216}{5}$
=>Min F = $-\frac{216}{5}$ => dễ dàng tìm ra x và y theo a( do mình không có nhiều thời gian nên các trọng tài thông cảm) ( với a khác 4)
Xét a=4 =>F=$(x+2y+1)^{2}+(2x+4y+5)^{2}$
Đặt x+2y+1= u => 2x+4y+5=2u+3
=> F = $u^{2}+(2u+3)^{2}=5u^{2}+12u+9$ => F=$5(u+\frac{6}{5})^{2}+\frac{109}{5}$
=>min F = $-\frac{109}{5}$khi u = $-\frac{6}{5}$ => x + 2y = $-\frac{11}{5}$ với x y thoã mãn đk trên
Vậy MinF = $-\frac{216}{5}$ với a khác 4 và minF =$-\frac{109}{5}$ với a=4
xin lỗi ban tổ chức vì đã gửi nhiều lần bị lỗi>
----
$S=52-(46-23)+3.0+5=34$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 23:03

[daovuquang]

Mở rộng 2: Tìm min F=$(ax+2y+1)^2+(2ax+by+5)^2$ theo giá trị của $a,b$.
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: $b\neq 4$:
$F=(ax+2y+1)^2+(2ax+by+5)^2\geq 0$.
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
ax+2y+1=0\; (1)\\
2ax+by+5=0\; (2)
\end{matrix}\right.$
Từ $(1)\Rightarrow ax=-2y-1$.
Thay vào $(2)$ được $(b-4)y+3=0 \Leftrightarrow y=\frac{3}{4-b}$.
Khi đó $x=\frac{-2y-1}{a}=\frac{\frac{6}{b-4}-1}{a}=\frac{6}{a(b-4)}-\frac{1}{a}$.
TH2: $b=4 \Rightarrow F=(ax+2y+1)^2+(2ax+4y+5)^2$.
Áp dụng Cauchy-Schwarz: $[(ax+2y+1)^2+(2ax+4y+5)^2][(-2)^2+1]\geq[-2(ax+2y+1)+(2ax+4y+5)]^2=9$
$\Rightarrow F\geq \frac{9}{5}$.
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \frac{ax+2y+1}{-2}=\frac{2ax+4y+5}{1}$
$\Leftrightarrow 5ax+10y+11=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{5a}(-10y-11)$.
Kết luận:
Với $b\neq 4$ thì min $F=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{6}{a(b-4)}-\frac{1}{a}\\
y=\frac{3}{4-b}
\end{matrix}\right.$
Với $b=4$ thì min $F=9 \Leftrightarrow x=\frac{1}{5a}(-10y-11)$.

[daovuquang]

Mở rộng 3: Tìm min F=$(x+2y+1)^2+(2x+ay+b)^2$ theo $a,b$.
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: $a\neq 4$:
$F=(x+2y+1)^2+(x+ay+b)^2\geq 0$.
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+2y+1=0\; (1)\\
2x+ay+b=0\; (2)
\end{matrix}\right.$
Từ $(1)\Rightarrow x=-2y-1$.
Thay vào $(2)$ được $(a-4)y+(b-2)=0 \Leftrightarrow y=\frac{b-2}{4-a}$.
Khi đó $x=-2y-1=\frac{2(b-2)}{a-4}-1$.
TH2: $a=4 \Rightarrow F=(x+2y+1)^2+(2x+4y+b)^2$.
Áp dụng Cauchy-Schwarz: $[(x+2y+1)^2+(2x+4y+b)^2][(-2)^2+1]\geq[-2(x+2y+1)+(2x+4y+b)]^2=(b-2)^2$
$\Rightarrow F\geq \frac{(b-2)^2}{5}$.
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x+2y+1}{-2}=\frac{2x+4y+b}{1}$
$\Leftrightarrow 5x+10y+(2b+1)=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}(-10y-2b-1)$.
Kết luận:
Với $a\neq 4$ thì min $F=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{2(b-2)}{a-4}-1\\
y=\frac{b-2}{4-a}
\end{matrix}\right.$
Với $b=4$ thì min $F=9 \Leftrightarrow x=\frac{1}{5}(-10y-2b-1)$.

[Kir]

Bài làm của Kir:
Nhận thấy: F luôn $\geq$ 0 với mọi x,y,a $\epsilon R$
$\Rightarrow$ Min F =0
Dấu "=" xảu ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} &x+2y+1 =0\\ & 2x+ay+5=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=-1-2y\\ & (a+4)y=-3 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ (a+4) $\neq$ 0 (do khi thử trường hợp a+4=0 thì thấy không thoả mãn)
$\left\{\begin{matrix} & y=-\frac{3}{4}(a+4)\\ & x=-1+\frac{3}{2}(a+4) \end{matrix}\right.$

Vậy với x=-1+\frac{3}{2}(a+4) và y=-\frac{3}{4}(a+4) với mọi số a khác -4 thuộc R thì Min F=0
----
Sai dấu ở bước tiếp theo của hệ, phải là $(a-4)y=-3$ chứ nhỉ?
$S=52-(46-21)+3.3+0=38$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 23:03

[minhhieukaka]

Bài toán mở rộng tổng quát
dễ dàng đưa F về dạng
F= $ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$ ( như bước hai ta đã làm với a khác 4(
F =$ax^{2}+(cy+d)x+by^{2}+ey+f$
F= a$a(x^{2}+\frac{1}{a}(cy+d)x+\frac{1}{4a^{2}})-\frac{1}{4a}(cy+d)^{2}+by^{2}+ey+f$
=....biến đổi dần......= a$a(x+\frac{1}{2a}(cy+d))^{2}+m(y+n)^{2}+p$
Chú ý: F có giá trị nhỏ nhất khi a.b cùng dương và F đạt giá trị lớn nhất khi a, b cùng âm và F không có giá trị max hay min khi a,b trấi dấu
1) Nếu $\left | a \right |$ là bình phương đúng thi nên chọn x làm ẩn
2 Nếu $\left | b \right |$ là bình phương đúnh nên chọn y làm ẩn
3 Nếu $\left | a \right |$ =< $\left | b \right |$ thì nên chọn x làm ẳn
_________________________________________________________________________________________

[BlackSelena]

Mở rộng 1 của MSS01-BlackSelena, đổi hệ số của x thành m.
$F=(mx+2y+1)^2+(2mx+ay+5)^2$
Cũng tương tự ...
Nếu $a \neq 4$ thì min $F = 0$
Dấu "=" xảy ra khi $ y = \frac{-3}{a-4}$
$x = \frac{10-a}{4m-am}$
Nếu $a = 4$ thì min $F = \frac{9}{5}$
Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{-10y-11}{5m}$

[mathnam]

F=(x+2y+1)2+(2x+ay+5)2

F=(x+2y+1)2+(2x+ay+5)2

(x+2y+1)² $\geq$ 0
(2x+ay+5)² $\geq$ 0
Nên: F=(x+2y+1)² +(2x+ay+5)² $\geq$ 0
Dấu "=" xảy ra khi:
x+2y+1=2x+ay+5=0
ta có :x+2y+1=2x+ay+5
$\Leftrightarrow y(2-a)=x+4$
$\Leftrightarrow y=\frac{x+4}{2-a}$
thay vào pt:
x+2y+1=0
ta được: $ x+\frac{2(x+4)}{2-a}+1=0$
$\Rightarrow 2x-ax+2x+8+2-a=0$
$\Leftrightarrow x(4-a)=a-10$
$\Leftrightarrow x=\frac{a-10}{4-a}$
Mặt khác:
x+2y+1=0
$\Leftrightarrow x=-(2y+1)$
$\Leftrightarrow \frac{a-10}{4-a}=-(2y+1)$
$\Rightarrow a-10=-(2y+1)(4-a)=-(8y-2ay+4-a)$
$\Rightarrow a-10=-8y+2ay-4+a $
$\Leftrightarrow y=\frac{-3}{a-4}$
Vậy:Min F=0
khi và chỉ khi:
x=\frac{a-10}{4-a}
và y=\frac{-3}{a-4}

[mathnam]

F=(x+2y+1)2+(2x+ay+5)2

(x+2y+1)² $\geq$ 0
(2x+ay+5)² $\geq$ 0
Nên: F=(x+2y+1)² +(2x+ay+5)² $\geq$ 0
Dấu "=" xảy ra khi:
$x+2y+1=2x+ay+5=0$
ta có $:x+2y+1=2x+ay+5$
$\Leftrightarrow y(2-a)=x+4$
$\Leftrightarrow y=\frac{x+4}{2-a}$ ($a=2$ thì em có chia được không?)
thay vào pt:
$x+2y+1=0$
ta được: $ x+\frac{2(x+4)}{2-a}+1=0$
$\Rightarrow 2x-ax+2x+8+2-a=0$
$\Leftrightarrow x(4-a)=a-10$
$\Leftrightarrow x=\frac{a-10}{4-a}$
Mặt khác:
$x+2y+1=0$
$\Leftrightarrow x=-(2y+1)$
$\Leftrightarrow \frac{a-10}{4-a}=-(2y+1)$
$\Rightarrow a-10=-(2y+1)(4-a)=-(8y-2ay+4-a)$
$\Rightarrow a-10=-8y+2ay-4+a $
$\Leftrightarrow y=\frac{-3}{a-4}$
Vậy:Min F=0
khi và chỉ khi:
$x=\frac{a-10}{4-a}$
và $y=\frac{-3}{a-4}$
----
$S=52-(70-23)+3.2+0=11$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 23:08

[caybutbixanh]

Tùy theo giá trị của $a$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$F = (x + 2y + 1)^2 + (2x + ay + 5 )^2$$

(Đề của BTC)

$F = (x + 2y + 1)^2 + (2x + ay + 5 )^2 \geq (x + 2y + 1)^2 \geq 4(x+2y)$
( áp dụng Bất Đẳng Thức $(a+b)^{2}\geq 4ab$
F= $ 4(x+2y) $ <=> $\left\{\begin{matrix} 2x+ay+5=0 & \\ x+2y=1 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} 2x+ay=-5 & \\ 2x+4y=2 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} (a-4)y=-7=(-1).7=1.(-7) (1)& \\ x+2y=1& \end{matrix}\right.$

(1)<=>$\left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a-4=1& \\ y=-7& \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} a-4=-1 & \\ y=7 & \end{matrix}\right. & \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a=5 & \\ y=-7 =>x= 15 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} a=3 & \\ y=7 => x=-13 & \end{matrix}\right. & \end{matrix}\right.$
Thay các kết quả tìm được vào biểu thức ta được $F=4$
Vậy $MIN F= 4 <=> (a,x,y)={{ (5,15,-7);(3,-13,7)} } $
----
Với $a=4$ thì giá trị nhỏ nhất của $F$ là $\dfrac{9}{5}<4$ mà em? Chú ý xét các trường hợp nhé.
$S=52-(72-23)+3.3+0=12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-09-2012 - 23:17

[Tru09]

Mở rộng của Tru09:
Tùy theo giá trị của $e (e \neq \frac{bd}{a}$ và $\neq 0$) hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A =(ax +by+c)^2 +(dx+ey+f)^2$ Với $a,b,c,d,f,e \neq 0$
Bài giải:
$A=(ax+by+c)^2 +(dx+ey+f)^2$
Vì $(ax+by+c)^2 \geq 0 \vee a,b,y,c \neq 0$
và $(dx+ey+f)^2 \geq 0 \vee f,d,x,,y, \neq 0$
$\Rightarrow A \geq 0 \vee f,b,y,c,d,x, \neq 0$
Dấu "$=$" sảy ra
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ax+by+c=0 & \\ dx+ey+f =0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-c-by}{a} (1) & \\ dx+ey+f =0 (2)& \end{matrix}\right.$
Thế (1) vầo (2)
Ta có :
$d\frac{-c-by}{a} +ey+f =0$
$\frac{-dc}{a} -\frac{bdy}{a} +ey +f =0$
$y(e-\frac{bd}{a}) =\frac{dc}{a} -f$
$y=\frac{\frac{dc}{a} -f}{e-\frac{bd}{a}}$
$y=\frac{dc-fa}{ea-db}$
$\Rightarrow x =\frac{-c-b\frac{dc-fa}{ea-db}}{a}$
$x =\frac{-c-\frac{bdc-fba}{ea-db}}{a}$
$x =\frac{\frac{-cea+cdb-bdc+fba}{ea-db}}{a}$
$x=\frac{fba-cea}{ea^2-dba}$
$x=\frac{fb-ce}{ea-db}$
Vậy $MiN A =0$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{fb-ce}{ea-db} & \\ y=\frac{dc-fa}{ea-db} & \end{matrix}\right.$

[thanhluong]

Mở rộng của thanhluong:

Tùy theo giá trị của $e$, $(e\neq 0)$ hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$A =(ax +by+c)^2 +(dx+ey+f)^2$$ $$(a,b,c,d,f \neq 0, \frac{bd}{a}\neq e)$$
Bài giải:

$A=(ax+by+c)^2 +(dx+ey+f)^2$

Vì $(ax+by+c)^2 \geq 0 \vee a,b,y,c \neq 0$

và $(dx+ey+f)^2 \geq 0 \vee f,d,x,e,y, \neq 0$

$\Rightarrow A \geq 0 \vee f,b,y,c,d,x,e, \neq 0$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{matrix} ax+by+c=0 & \\ dx+ey+f =0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-c-by}{a} (1) & \\ dx+ey+f =0 (2)& \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2)

Ta có :

$d \cdot \frac{-c-by}{a} +ey+f =0$

$\frac{-dc}{a} -\frac{bdy}{a} +ey +f =0$

$y \cdot (e-\frac{bd}{a}) =\frac{dc}{a} -f$

$y=\frac{\frac{dc}{a} -f}{e-\frac{bd}{a}}$

$y=\frac{dc-fa}{ea-db}$

$\Rightarrow x =\frac{-c-b\frac{dc-fa}{ea-db}}{a}$

$x =\frac{-c-\frac{bdc-fba}{ea-db}}{a}$

$x =\frac{\frac{-cea+cdb-bdc+fba}{ea-db}}{a}$

$x=\frac{fba-cea}{ea^2-dba}$

$x=\frac{fb-ce}{ea-db}$

Vậy $\Min{A} =0$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{fb-ce}{ea-db} & \\ y=\frac{dc-fa}{ea-db} & \end{matrix}\right.$