Chủ đề này có 5 trả lời

[minhdat881439]

Tìm $lim\frac{a^{n}}{n!}$ (a là số thực cho trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 17-09-2012 - 15:58

[Crystal]

Tìm $lim\frac{a^{n}}{n!}$ (a là số thực cho trước)

Đặt $m = \left\lfloor {\left| a \right|} \right\rfloor + 1,\forall n > m$, ta có:
\[0 \le \left| {\frac{{{a^n}}}{{n!}}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}\left( {\frac{{\left| a \right|}}{{m + 1}}...\frac{{\left| a \right|}}{n}} \right) \le \frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}.\frac{{\left| a \right|}}{n}\]
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}.\frac{{\left| a \right|}}{n}} \right) = 0$.

Theo định lí kẹp, suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0$.

[minhdat881439]

Đặt $m = \left\lfloor {\left| a \right|} \right\rfloor + 1,\forall n > m$, ta có:
\[0 \le \left| {\frac{{{a^n}}}{{n!}}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}\left( {\frac{{\left| a \right|}}{{m + 1}}...\frac{{\left| a \right|}}{n}} \right) \le \frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}.\frac{{\left| a \right|}}{n}\]
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}.\frac{{\left| a \right|}}{n}} \right) = 0$.

Theo định lí kẹp, suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0$.

Sao anh biết n tiến về vô cùng đề đâu có cho ?

[Crystal]

Sao anh biết n tiến về vô cùng đề đâu có cho ?

Với những bài toán tìm giới hạn mà đề không ghi rõ $n$ tiến tới đâu thì ta ngầm hiểu $n \to \infty $ .

[minhdat881439]

Đặt $m = \left\lfloor {\left| a \right|} \right\rfloor + 1,\forall n > m$, ta có:
\[0 \le \left| {\frac{{{a^n}}}{{n!}}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}\left( {\frac{{\left| a \right|}}{{m + 1}}...\frac{{\left| a \right|}}{n}} \right) \le \frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}.\frac{{\left| a \right|}}{n}\]
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\left| a \right|}}{1}.\frac{{\left| a \right|}}{2}...\frac{{\left| a \right|}}{m}.\frac{{\left| a \right|}}{n}} \right) = 0$.

Theo định lí kẹp, suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0$.

Em vẫn thắc mắc không hiểu vì sao đặt như vậy
p\s anh còn cách nào khác không ạ

[Crystal]

Đây là một cách nữa nhưng không chắc có đúng không .

Đặt ${u_n} = \frac{{{a^n}}}{{n!}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{{a^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{a}{{n + 1}}$.

Khi đó, dãy $\left( {{u_n}} \right)$ đơn điệu (hoặc tăng hoặc giảm).

Giả sử dãy có giới hạn $L$. Chuyển qua giới hạn ta đuợc: $L = \frac{a}{{n + 1}}L \Leftrightarrow \left( {n + 1 - a} \right)L = 0 \Leftrightarrow L = 0\,\,\left( {a \ne n + 1} \right)$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0$.