ngày thứ nhất (19-9-2012)
Bài 1: (5 điểm): tìm $ m$ để hệ sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix}
m(x^2+\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1=xy) & \\ m(\sqrt[3]{x^8}+x^2+\sqrt[3]{x^2}+1)=(2y+1-m)\sqrt[3]{x^4}
&
\end{matrix}\right.$$
Bài 2: (5 điểm): cho $ P,Q,I $ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $ AB,BC,CA $ của tam giác ABC và chia chu vi tam giác đó thành 3 phần bằng nhau $ (IA+AP=PB+BQ=QC+CI)$, gọi $ S,R,r $ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC $. CMR: $$ S_{\triangle PQI} \geq \frac{2}{9}(1+\frac{r}{4R})S $$
Bài 3: (5 điểm): tìm tất cả các hàm $ f; g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa 2 điều kiện sau:
i) $ f(x^2-y^2)=g(x-y)f(x+y)+f(x-y) \forall x,y \in \mathbb{R} $
ii) nếu $ x>y $ thì $ f(x) >f(y) \forall x,y \in \mathbb{R} $
Bài 4: (5 điểm): trong mặt phẳng cho $ n $ điểm $ A_1, A_2, ....., A_n (n \geq 4) $ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên 1 đường tròn. gọi $ a_t (1 \leq t \leq n)$ là số các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ A_iA_jA_k (1 \leq i,j,k \leq n$; $ i,j,k $ đôi một khác nhau $ )$ chứa điểm $ A_t$. đặt $ N©=a_1+a_2+...+a_n$. chứng minh rằng các điểm $ A_1, A_2, ...., A_n $ là các đỉnh của 1 đa giác lồi khi và chỉ khi $ N©=\frac{n^4-6n^3+11n^2-6n}{12} $.
ngày thứ 2 (20-9-2012)
cho dãy số hữu tỉ $ (x_n) $ với $ x_1=2; x_{n+1}=\frac{2+x_n}{1-2x_n} \forall n \geq 1 $. CMR:
1) $ x_n \neq 0 \forall n \geq 1 $
2) dãy $ (x_n)$ không phải là dãy tuần hoàn
Bài 6: (7 điểm): cho đường tròn $ (O) $ cố định và 1 dây $ AB $ cố định khác đường kính của $(O)$. gọi $ I $ là trung điểm $ AB$. $ P$ là 1 điểm di động trên cung lớn $ AB $, các điểm $M,N $ lần lượt thuộc các tia $ PA,PB $ sao cho $\widehat{PMI}=\widehat{PNI}=\widehat{APB}$. Chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác $PMN $ đi qua 1 điểm cố định.
Bài 7: (7 điểm): gọi $p,r$ lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của 1 tam giác có độ dài 3 cạnh là các số nguyên dương $ a,b,c $.
chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $ n$ sao cho $\left\{\begin{matrix} p=(3n+3)r & \\ b+c=(2n+1)a & \end{matrix}\right.$
.........................hết.........................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 20-09-2012 - 22:02
