gọi M là trung điểm AC và $ G_1 $ là trọng tâm tam giác ABC.
vì tứ diện ABCD đều nên $ SG_1$ vuông góc $ (ABC) $
G là trọng tâm tứ diện nên $ G \in SG_1 $ và $ SG=\frac{2}{3}SG_1 $
ta có: $ SM=MB=\frac{a\sqrt{3}}{2} $ (do là trung tuyến của tam giác đều)
$ \Rightarrow MG_1=\frac{1}{3}MB=\frac{a}{2\sqrt{3}} $
tam giác $SG_1M $ vuông tại $ G_1 $
$ \Rightarrow SG_1=\sqrt{SM^2-MG_1^2}=a\sqrt{\frac{2}{3}} $
$ \Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SG_1.S_{ABC}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12} $
lấy 2 điểm $ A_1; B_1 $ lần lượt thuộc SA;SB
vì $ B_1G $ và SM cùng thuộc mặt phẳng (SMB) nên $B_1G \cap SM= N$
$ A_1N $ và SC cùng thuộc $ mp(SAC) $ nên $ A_1N \cap SC=C_1 $
$ \Rightarrow (P) \equiv (A_1B_1C_1) $
đặt $ AA_1=x, BB_1=y, CC_1=z $
áp dụng công thức về tỉ số thể tích cho 2 khối tứ diện $ S.A_1B_1C_1 $ và $ S.ABC $ ta có:
$ \frac{V_{S.A_1B_1C_1}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA_1.SB_1.SC_1}{SA.SB.SC}=\frac{xyz}{a^3} $
$ \Rightarrow V_{S.A_1B_1C_1}=\frac{xyz\sqrt{2}}{12} $ (1)
mặt khác, áp dụng công thức tỉ số thể tích cho 2 khối tứ diện $ S.A_1B_1.G $ và $ S.ABG_1 $ ta có:
$ \frac{V_{S.A_1B_1G}}{V_{S.ABG_1}}=\frac{SA_1.SB_1.SG}{SA.SB.SG_1}$
$ \Rightarrow V_{S.A_1B_1G}=\frac{2xy}{3a^2}.V_{S.ABG_1} $
chứng minh tương tự ta có:
$ V_{S.B_1C_1G}=\frac{2yz}{3a^2}.V_{S.BCG_1} $
$ V_{S.C_1A_1G}=\frac{2zx}{3a^2}.V_{S.CAG_1} $
mà $ V_{S.ABG_1}=V_{S.BCG_1}=V_{S.CAG_1}=\frac{V_{S.ABC}}{3} $
$ \Rightarrow V_{S.A_1B_1G}+V_{S.B_1C_1G}+ V_{S.C_1A_1G}=\frac{2zx}{3a^2}.V_{S.ABC} $
hay $ V_{S.A_1B_1C_1}=\frac{a\sqrt{2}}{18}(xy+yz+zx) $ (2)
từ (1) và (2) suy ra:
$ 3xyz=2a(xy+yz+zx) $
áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$ 3xyz=2a(xy+yz+zx) \geq 6a\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
$ \Rightarrow xyz \geq \frac{8a^3}{27} $
$ \Rightarrow V_{S.A_1B_1C_1} \geq \frac{2a^3\sqrt{2}}{81}$
dấu bằng xảy ra khi $ AA_1= BB_1=CC_1=\frac{2}{3} $ hay (P) là mặt phẳng qua G và song song với BC.
1 điểmS = 50 + 3x1 = 53
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 02-10-2012 - 23:36
Ghi điểm
Chủ đề bị khóa
