Chủ đề này có 2 trả lời

[E. Galois]

Bài toán:
Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_1&=&\alpha&\\u_{n+1}&=&au_n^2+bu_n+c,&\forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$
Đặt:
$$v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k-\beta}$$
Tìm $lim v_n$ (với $\alpha, \beta, a, b, c$ là các hằng số)

[dark templar]

Bài toán:
Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_1&=&\alpha&\\u_{n+1}&=&au_n^2+bu_n+c,&\forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$
Đặt:
$$v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k-\beta}$$
Tìm $lim v_n$ (với $\alpha, \beta, a, b, c$ là các hằng số)

Dưới đây chỉ là một vài ý tưởng của riêng em
Hiển nhiên để có được dãy $\{v_{n} \}$ thì $\alpha \neq \beta$.
Ta sẽ xét trường hợp dễ nhất:$a=b=0$ .Khi này sễ dễ dàng thấy rằng $c=\alpha$,hay dãy $\{u_{n} \}$ là dãy hằng với $u_{n}=\alpha;\forall n \in \mathbb{N^*}$.
Vậy:$v_{n}=\frac{n}{\alpha-\beta}$.
Với $\alpha>\beta$ thì $\lim v_{n}=+\infty$,ngược lại nếu $\alpha<\beta$ thì $\lim v_{n}=-\infty$.

Xét đến trường hợp khó xơi hơn xíu :$a=0;b \neq 0$.
Bây giờ ta thấy rằng nếu $\lim u_{n}=\beta$ tức là $\beta$ phải thỏa mãn điều kiện:$\left\{\begin{matrix} \alpha<\beta & \\ \beta=b\beta+c(1)& \end{matrix}\right.$
$(1) \iff (1-b)\beta =c$
Nếu $b=1;c \neq 0$ thì không tồn tại $\beta$ thỏa mãn (1).
Nếu $b=1;c=0$ thì $\beta \in \mathbb{R}$.Trong trường hợp này thì dãy $\{u_{n} \}$ là dãy hằng với $u_{n}=\alpha;\forall n \in \mathbb{N^*} \implies \lim u_{n}=\alpha$.Đây là điều mâu thuẫn.
Nếu $b \neq 1;c=0$ thì $\beta =0$.Tức là $v_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}$ và $\lim u_{n}=0$,suy ra $\lim v_{n}=+\infty$
Nếu $b \neq 1lc \neq 0$ thì $\beta=\frac{c}{1-b}$,tức là $v_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}-\frac{c}{1-b}}$ và $\lim u_{n}=\frac{c}{1-b}$,suy ra $\lim v_{n}=+\infty$.

P/s:Hôm nay làm đến đây thôi,giờ đi ngủ,mai làm tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-10-2012 - 00:04

[dark templar]

Hôm nay làm tiếp ý tưởng
Ta cần điều kiện tồn tại cho dãy $\{v_{n} \}$ là $u_{k} \neq \beta(k=\overline{1;n})$
Ta sẽ giả sử $\lim u_{n} \neq \beta$.Khi này dãy $\{u_{n} \}:\left\{\begin{matrix} u_1=\alpha & \\ u_{n+1}=bu_{n}+c;\forall n \ge 1 \end{matrix}\right.$
Nếu $c=0;b \neq 1$ thì đây sẽ là một CSN công bội là $b \implies u_{n}=\alpha.\beta^{n-1}$.

• $\beta<1$ thì $\lim u_{n}=0 \implies \lim v_{n}=\lim \frac{n}{\beta}=\left\{\begin{matrix} +\infty(\beta>0) & \\ -\infty(\beta<0)& \end{matrix}\right.$
• $\beta>1$ thì $\lim u_{n}=\left\{\begin{matrix} +\infty(\alpha>0) & \\ -\infty(\alpha<0)& \end{matrix}\right. \implies \lim v_{n}=0$

Nếu $c=0;b=1$ thì $\{u_{n} \}$ là dãy hằng,việc tìm giới hạn tương tự như trên.
Nếu $c \neq 0;b=1$ thì $\{u_{n} \}$ là một CSC có công sai là $c \implies u_{n}=\alpha+(n-1)c \implies \lim u_{n}=\left\{\begin{matrix} +\infty(c>0) & \\ -\infty(c<0) \end{matrix}\right. \implies \lim v_{n}=0$
Nếu $c \neq 0;b \neq 1$ thì đây là dãy tuyến tính cấp 1,suy ra:$u_{n}=xb^{n}+y$,trong đó $(x;y)$ là nghiệm của hệ:$\left\{\begin{matrix} xb+y=\alpha & \\ xb^2+y=\alpha.b+c \end{matrix}\right.$.Từ đó ta tìm được $\lim u_{n} \implies \lim v_{n}$.
Còn trường hợp $a \neq 0$ khá là tổng quát,em chưa có đủ ý tưởng cho phần này