Đến nội dung

Hình ảnh

${a^n} \equiv 1(\bmod {p^n}) \Rightarrow a \equiv 1(\bmod {p^{n - 1}}),\forall a \in {N^*}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dactai10a1

dactai10a1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 277 Bài viết
Tìm số nguyên tố p sao cho với n là số nguyên dương>2 cho trước;$(n;p) = 1$; ta có ${a^n} \equiv 1(\bmod {p^n}) \Rightarrow a \equiv 1(\bmod {p^{n - 1}}),\forall a \in {N^*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 29-09-2012 - 16:13


#2
vanhuongsky

vanhuongsky

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Giả sử p là số nguyên tố thỏa mãn đầu bài.

*Ta có : $x^{n}\equiv 1(mod p^{n})$

$x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$

Nếu $x\not\equiv 1(modp)$ mà $x^{n}-1\equiv 0(mod p^{n})$ thì $x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\equiv 0(mod p^{n})$

Suy ra : $(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)\vdots p^{n-1}$ 

Mà theo giả thiết $x\equiv 1(mod p^{n-1})$ nên $n\vdots p^{n-1}$$n\geq p^{n-1}\geq 2^{n-1}$ (mâu thuẫn với $n> 2$ )

Suy ra $x\equiv 1(mod p)$ $x^{n-1}+x^{n-2}+..+x+1\equiv n (mod p)$ do $(n;p)=1$ nên $\Rightarrow x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\not\equiv 0( modp)$

*Ngược lại có $x^{n-1}+x^{n-2}+..+x+1\not\equiv 0(mod p)\Rightarrow x\equiv 1 (mod p^{n})$

Như vậy bài toán trở thành Tìm tập hợp các số nguyên tố $p$ thỏa mãn :

$x^{n}\equiv 1(mod p^{n})\Rightarrow x\equiv 1(mod p)$

Ta chứng minh : tập cần tìm là các số nguyên tố p thỏa mãn : $(n;p^{2}-p)=1$

Thật vậy ; $x^{n}\equiv 1 (mod p^{n})\Rightarrow x^{n}\equiv 1 (mod p)$

* Nếu có $(n;p^{2}-p)=1$ $\Rightarrow (n;p-1)=1 \Rightarrow \exists a;b\epsilon \mathbb{N}: an-b(p-1)= 1$ 

 Mà $x^{n}\equiv 1(mod p);x^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ (do định lý Fecmar ) $\Rightarrow x\equiv 1 (mod p)$

* Ngược lại $x^{n}\equiv 1 (mod p ^{n}) ; x^{\theta (p^{n})}\equiv 1 (mod p^{n})$ ( Định lý Ơle)

Để suy ra $x\equiv 1 (mod p)$ thì đặt $u=(n;\theta (p^{n}))$$\Rightarrow \theta (p^{n})\vdots u\Rightarrow \exists y\not\equiv 1 (mod p^{n}) : y^{u}\equiv 1 (mod p^{n})$

Do đó  u=$(n;\theta (p^{n}))=1 \Rightarrow (n;p^{2}-p)=1$

Kết luận : $(n;p^{2}-p)=1$


                                                Trai gái là phù du                                                  :icon10: 

                                                Math.kudo là tất cả                                                :ukliam2: 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh