Chủ đề này có 2 trả lời

[MrBean]

Cho a,b,c $\geq 0$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3.$.Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$.
-------------------------
Gõ tiêu đề rõ ràng bằng $\LaTeX$ bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 02-10-2012 - 20:54

[WhjteShadow]

Cho a,b,c $\geq 0$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3.$.Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$.
-------------------------
Gõ tiêu đề rõ ràng bằng $\LaTeX$ bạn nhé

Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$2(a+b+c)+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}$$
Ta sẽ chứng minh 1 bất đẳng thức mạnh hơn ban đầu:
$$(a+b+c)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 27$$
$$\Leftrightarrow (a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq 27abc$$
$$\Leftrightarrow (a+b+c)^4(ab+bc+ca)^2\geq 243(a^2+b^2+c^2)a^2b^2c^2$$
Sử dụng $AM-GM$ 1 lần nữa ta có:
$$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$$
Nên ta cần chứng minh:

$$(a+b+c)^5\geq 81(a^2+b^2+c^2)abc$$
$$\Leftrightarrow (a+b+c)^6\geq 81(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)abc$$
Nhưng bất đẳng thức này lại luôn đúng khi ta sử dụng liên tiếp 2 lần $AM-GM$:
$$81(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)abc\leq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$$
$$\leq [(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)]^3=(a+b+c)^6$$
Phép chứng minh hoàn tất.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\blacksquare$

[KietLW9]

Áp dụng bất đẳng thức phụ: $2a+\frac{1}{a}\geqslant \frac{a^2+5}{2} \Leftrightarrow \frac{(2-a)(a-1)^2}{2a}\geqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại ta có Q.E.D

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1