Chủ đề này có 5 trả lời

[dark templar]

1 tính chất hay của dãy Fibonacci
Bài toán: Ký hiệu $\{f_{n} \}_{0}^{\infty}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức sau:
$$\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{k}\binom{k}{j}f_{k}=f_{3n}$$

[hxthanh]

1 tính chất hay của dãy Fibonacci
Bài toán: Ký hiệu $\{f_{n} \}_{0}^{\infty}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức sau:
$$\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{k}\binom{k}{j}f_{k}=f_{3n}$$

Ta có:
$S=\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{k}\binom{k}{j}F_{k}=\sum_{k=0}^{n}\left[\binom{n}{k}F_k\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}\right]$
$=\sum_{k=0}^n\left[\binom{n}{k}F_k 2^k\right]=\dfrac{1}{\sqrt 5}\sum_{k=0}^n\left[\binom{n}{k}\left((1+\sqrt 5)^k-(1-\sqrt 5)^k\right)\right]$
$=\dfrac{1}{\sqrt 5}\sum_{k=0}^n\left[\binom{n}{k}(1+\sqrt 5)^k1^{n-k}\right]-\dfrac{1}{\sqrt 5}\sum_{k=0}^n\left[\binom{n}{k}(1-\sqrt 5)^k1^{n-k}\right]$
$=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[(2+\sqrt 5)^n-(2-\sqrt 5)^n\right]$
$=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[\dfrac{(16+8\sqrt 5)^n}{2^{3n}}-\dfrac{(16-8\sqrt 5)^n}{2^{3n}}\right]$
$=\dfrac{1}{\sqrt 5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^{3n}-\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^{3n}\right]$
$=F_{3n}$

[dark templar]

Và cũng bằng 1 cách tương tự,ta cũng có bài toán sau:
Bài toán: Ký hiệu $\{L_{n} \}_{n \ge 0}$ là dãy Lucas.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{k}\binom{k}{j}L_{k}=L_{3n}$$

[hxthanh]

Cũng bằng phương pháp như trên, chịu khó mở rộng ra ta có được một số đẳng thức "đẹp" sau:
$$\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} F_k\right]=F_{2n}$$
$$\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} F_{3k}\right]=2^nF_{2n}$$
$$\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} F_{4k}\right]=3^nF_{2n}$$
$$\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} 2^k(-1)^{n+k}F_{2k}\right]=F_{3n}$$

[dark templar]

Cũng bằng phương pháp như trên, chịu khó mở rộng ra ta có được một số đẳng thức "đẹp" sau:
$$S_1=\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} F_k\right]=F_{2n}$$
$$S_2=\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} F_{3k}\right]=2^nF_{2n}$$
$$S_3=\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} F_{4k}\right]=3^nF_{2n}$$
$$S_4=\sum_{k=0}^n \left[\binom{n}{k} 2^k(-1)^{n+k}F_{2k}\right]=F_{3n}$$

Ta đặt $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2};\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.Dễ thấy $\alpha;\beta$ đều là nghiệm của phương trình $x^2=x+1$.
Công thức Binet cho ta :$F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}(*)$.
+Xét tổng đầu $S_1$,ta có:
$$S_1=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}F_{k}=\frac{1}{\alpha-\beta}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(\alpha^{k}-\beta^{k})=\frac{1}{\alpha-\beta}\left[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\alpha^{k}-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\beta^{k} \right]=\frac{(1+\alpha)^{n}-(1+\beta)^{n}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^{2n}-\beta^{2n}}{\alpha-\beta}=F_{2n}$$

+Xét tổng $S_2$
$$S_2=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}F_{3k}=\frac{1}{\alpha-\beta}\left[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\alpha^{3k}-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\beta^{3k} \right]=\frac{(1+\alpha^{3})^{n}-(1+\beta^{3})^{n}}{\alpha-\beta}$$
Để ý rằng:
$$\alpha^3+1=\alpha(1+\alpha)+1=1+\alpha+\alpha^2=2\alpha^2$$
Nên:
$$S_2=\frac{(1+\alpha^{3})^{n}-(1+\beta^{3})^{n}}{\alpha-\beta}=\frac{2^{n}(\alpha^{2n}-\beta^{2n})}{\alpha-\beta}=2^{n}F_{2n}$$

+Xét tổng $S_3$:
$$S_3=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}F_{4k}=\frac{1}{\alpha-\beta}\left[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\alpha^{4k}-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\beta^{4k} \right]=\frac{(1+\alpha^4)^{n}-(1+\beta^4)^{n}}{\alpha-\beta}$$
Để ý:
$$1+\alpha^4=1+(\alpha+1)^2=\alpha^2+2(\alpha+1)=3\alpha^2$$
Nên:
$$S_3=\frac{(1+\alpha^4)^{n}-(1+\beta^4)^{n}}{\alpha-\beta}=\frac{3^{n}(\alpha^{2n}-\beta^{2n})}{\alpha-\beta}=3^{n}F_{2n}$$

+Xét tổng cuối cùng là $S_4$
Sử dụng chút biến đổi là $(-1)^{n+k}=(-1)^{n-k}.(-1)^{2k}=(-1)^{n-k}$,ta có:
$$S_4=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}.2^{k}F_{2k}=\frac{1}{\alpha-\beta}\left[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}(2\alpha^2)^{k}-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}(2\beta^2)^{k} \right]=\frac{(2\alpha^2-1)^{n}-(2\beta^2-1)^{n}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^{3n}-\beta^{3n}}{\alpha-\beta}=F_{3n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 18:13

[dark templar]

1 bài toán vui vui nữa
Bài toán: Cho $n$ lẻ.Chứng minh rằng:$\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\binom{n}{k}F_{k}=0$.

____________
hxthanh@: chán rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-11-2012 - 23:03