Đề MSS trận 7: Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $CB$ và $CD$ theo thứ tự lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $\dfrac{BE}{BC}=k$ và $\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1-k}{1+k}$ với $0<k<1$. Đoạn thẳng $BD$ cắt $AE$ và $AF$ tại $H$ và $G$ tương ứng. Đường vuông góc với $EF$ kẻ từ $A$ cắt $BD$ tại $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{PG}{PH}=\dfrac{DG}{BH}$.
-Đề của BTC-
Bài làm (Tru09)
Chứng minh bổ đề phụ :
Cho tam giác $ ABC$ , các đường cao $AD,BE,CF ,H$ là trực tâm thì H là tâm 3 đường phân giác của $\Delta DEF$
Chứng minh: Dễ thấy $AEFH ,FHDB ,EHDC :\text{Tứ giác nội tiếp}$
$\Rightarrow \angle FEH =\angle FAH =\angle FCB =\angle HED$ $\Rightarrow$ HE là phân giác $\angle FED$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow HD ,HF$ là phân giác $\angle FDE , \angle DFE$
Vậy bổ đề đã hoàn toàn chứng minh
@`~
Từ giả thiết ta có:
$\frac{BE}{BC} =k$
$\frac{DF}{DC}=\frac{1-k}{1+k}$
Thay vào nhau ta có:
$\Rightarrow \frac{DF}{DC}=\frac{1-\frac{BE}{BC}}{1+\frac{BE}{BC}}$
$\Rightarrow \frac{DF}{DC}=\frac{\frac{EC}{BC}}{\frac{BE+BC}{BC}} =\frac{EC}{BE+BC}$
Gọi cạnh hình vuông là $a.$
$BE=x ,DF=y$
$\Rightarrow \frac{y}{a}=\frac{a-x}{x+a}$
$\Rightarrow xy+ya =a^2 -ax$
$\Rightarrow a(y+x)=a^2 -xy (1)$
Xét $\Delta EFC$ có:
$EF^2 =FC^2 +EC^2$
$\Rightarrow EF^2 =(a-y)^2 +(a-x)^2 =2a^2 -2a(x+y) +x^2 +y^2$
$\Rightarrow EF^2 =2a^2 -2(a^2 -xy) +x^2+y^2 :\text{Thay từ (1) vào}$
$\Rightarrow EF^2 =x^2+y^2 +2xy =(x+y)^2$
$\Rightarrow EF=x+y (2)$
@~
Từ A kẻ đường thằng $\perp AF \cap BC =K$
Ta có :
$\angle KAB +\angle BAF =90^o$
$\angle BAF +\angle FAD =90^o$
$\Rightarrow \angle KAB =\angle FAD$
Xét $\Delta$ Vuông $ABK$ và $\Delta$ vuông $ADF$ có :
$AB=AD (GT)$
$\angle KAB =\angle FAD$ :$\text{Chứng minh trên}$
$\Rightarrow \Delta$ Vuông $ABK$ ~ $\Delta$ vuông $ADF$ :$\text{cgv -gn}$
$\Rightarrow AF =AK$
$\Rightarrow BK =DF=y$
Vì vậy Từ $(2) \Rightarrow EF =x +BK =KE$
Xét $\Delta AEK$ và $\Delta AEF$ có:
$EF=KE$ (Chứng minh trên)
$AF =AK$(Chứng minh trên)
AE Chung
$\Rightarrow \Delta AEK = \Delta AEF$ :$\text{c-c-c}$
$\Rightarrow \angle AEB =\angle AEF$
Xét $\Delta$ Vuông $ABE$ và $\Delta$ vuông $ALE$ có :
$\angle AEB =\angle AEF$
AE chung
$\Rightarrow$ $\Delta$ Vuông $ABE$ ~ $\Delta$ vuông $ALE$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow$ $\Delta$ Vuông $ALF$ ~ $\Delta$ vuông $ADF$
$\Rightarrow \angle BAE =\angle EAL$ và $\angle LAF =\angle FAD$
$\Rightarrow \angle BAE +\angle DAF =\angle EAL +\angle FAL =\frac{1}{2}90^o$
$\Rightarrow \angle EAF =45^o$
$\Rightarrow ABEG :\text{Tứ giác nội tiếp}$
$\Rightarrow \angle AGE =90^o$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow \angle AFE =90^o$
@~ :
Gọi M là trực tâm $\Delta$ AEF
Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ở đầu $\Rightarrow M$ là giao điểm của 3 đường phân giác $\Delta HLG$
$\Rightarrow \frac{PH}{PG} =\frac{LG}{LM}$
Dễ dàng chứng minh $\Delta AHE =\Delta LHE$
$\Delta DGF =\Delta LGF$
$\Rightarrow LH =BH ,LG=LD$
$\Rightarrow \frac{PH}{PG} =\frac{BH}{GD}$
Vậy Bài toán hoàn toàn được chứng minh !!
====Điểm bài làm: 10.Tổng điểm: 50+3.10+10+0=90$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-10-2012 - 21:57
ghi lại điểm