Chủ đề này có 3 trả lời

[Oral1020]

1)Tìm GTNN của $A=x^2+26y^2-10xy+14x-76y+59$
2)Tìm x để $P=\dfrac{4x^4+16x^3+56x^2+80x+356}{x^2+2x+5}$ đạt GTNN
3)Tìm GTNN của các biểu thức sau:
$A=x^2+2y^2+2xy-2y$
$B=4x^2+5y^2-4xy-16y+22$
$C=x^2+5y^2+5z^2-4xy-4yz-4z+12$
$D=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+82$
4)Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm GTNN $M=x^4+y^4+z^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-10-2012 - 12:53

[Zaraki]

Ta đề xuất bài toán và hướng giải tổng quát cho bài 1,3.
Tìm cực trị $A=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f$.
Lời giải. Ta có $$\begin{aligned} 4aA & = 4a^2x^2+4aby^2+4acxy+4adx+4aey+4af \\ &
= (2ax)^2+ 2 \cdot (2ax) \cdot (cy+d) +(cy+d)^2 - (cy+d)^2 + 4aby^2+4aey+4af \\ &
= (2ax +cy+d)^2-c^2y^2-2cdy-d^2+4aby^2+4aey+4af \\ &
= (2ax +cy+d)^2 + (4ab-c^2)y^2 + 2 \cdot y \cdot (2ae-cd)+4af-d^2 \\ &
= (2ax +cy+d)^2 + (4ab-c^2) \left[ y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{2ae-cd}{4ab-c^2}+ \left( \frac{2ae-cd}{4ab-c^2} \right)^2 \right] +4af-d^2- \frac{(2ae-cd)^2}{4ab-c^2} \\ &
= (2ax +cy+d)^2 + (4ab-c^2) \left( y+ \frac{2ae-cd}{4ab-c^2} \right)^2 +4af-d^2- \frac{(2ae-cd)^2}{4ab-c^2} \end{aligned}$$

+) Nếu $a>0, 4ab-c^2>0$ thì $A \ge f- \frac{d^2}{4a}- \frac{(2ae-cd)^2}{4a(4ab-c^2)}$.
+) Nếu $a<0, 4ab-c^2<0$ thì $A \le f- \frac{d^2}{4a}- \frac{(2ae-cd)^2}{4a(4ab-c^2)}$.

[BlackSelena]

Bài 4:
$x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2 + x^2z^2 \geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3} = \frac{1}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z = \frac{\pm \sqrt{3}}{3}$

[nthoangcute]

1)Tìm GTNN của $A=x^2+26y^2-10xy+14x-76y+59$
2)Tìm x để $P=\dfrac{4x^4+16x^3+56x^2+80x+356}{x^2+2x+5}$ đạt GTNN
3)Tìm GTNN của các biểu thức sau:
$A=x^2+2y^2+2xy-2y$
$B=4x^2+5y^2-4xy-16y+22$
$C=x^2+5y^2+5z^2-4xy-4yz-4z+12$
$D=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+82$
4)Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm GTNN $M=x^4+y^4+z^4$

1) $A=(x-5y+7)^2+(y-3)^2+1 \geq 1$
2) $P=\dfrac{4(x+3)^2(x-1)^2}{x^2+2x+5}+64 \geq 64$
3) $A=(x+y)^2+(y-1)^2-1 \geq -1$
$B=(2x-y)^2+4(y-2)^2+6 \geq 6$
$C=(x-2y)^2+(y-2z)^2+(z-2)^2+8 \geq 8$
$D=5(x-\dfrac{6}{5}y+\dfrac{12}{5})^2+\dfrac{9}{5}(y-\dfrac{16}{3})^2+2 \geq 2$