Chủ đề này có 8 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho một ma trận A bất kỳ.Chứng minh rằng:$$r\left(A^{T} \right)=r(A)$$

[Giang1994]

Xét 1 ma trận vuông bất kỳ B, ta có $det(B^t)= det(B)$, nên suy ra với 1 ma trận A bất kỳ ta có $r(A^t)=r(A)$

--------
P.S: không biết giải thích thế có được không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 11-10-2012 - 22:28

[vo van duc]

Giải thế sao được em? Sai rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-10-2012 - 23:33

[dark templar]

Xét 1 ma trận vuông bất kỳ B, ta có $det(B^t)= det(B)$, nên suy ra với 1 ma trận A bất kỳ ta có $r(A^t)=r(A)$

--------
P.S: không biết giải thích thế có được không

Chào Giang Nhưng mình cần lời giải chưa sử dụng đến kiến thức về định thức,bởi mình nghe thầy dạy mình nói là đây là tính chất quan trọng và khó chứng minh trong phần hạng ma trận.

[Giang1994]

Giải thế sao được em? Sai rồi.

Sai chỗ nào anh chỉ ra coi

[vo van duc]

Lý thuyết toán đi từ cái sơ khai là tiên đề. Tiên đề là các mệnh đề toán học rút ra từ thực tế hiển nhiên đúng (trong phạm vi nhất định) và không thể chứng minh. Tất nhiên không phải mọi lý thuyết điều phải có tiên đề.
Toán học là lý thuyết. Mà đã là lý thuyết thì phải có định nghĩa là cơ sở, rồi từ đó ta có tính chất, sau đó là định lý, rồi hệ quả,..
Như vậy muốn chứng minh một tính chất phải đi từ định nghĩa mà ra. Chứng minh tính chât sau thì có thể dùng định nghĩa và các tính chất trước.
Chứng minh định lý ta đi từ định nghĩa, các tính chất mà ra. Định lý sau có thể được chứng minh bằng định lý trước.
Mọi hệ thống lý thuyết muốn đứng vững trên đời thì các tính chất, định lý, hệ quả,... phải theo logic chặc chẻ như vậy. Theo logic này thì chắc bạn hiểu ý tôi nói sai là sai chổ nào rồi chứ rồi chứ!
Toán học ngày nay quá rộng. Cái thì có trước, có sau là khó xác định. Các tài liệu khác nhau trình bày theo một hệ thống có thể không giống nhau. Sách này lại dùng định lý của sách khác làm định nghĩa. Rất lộn xộn.
Bạn nên đọc sách có chọn lọc!
Chúc bạn nghiên cứu tốt!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 13-10-2012 - 23:16

[dangkhoacb5]

Anh có thể trình bày cách giải bày đó giúp em được không ạ? Em cảm ơn anh nhiều.

[Giang1994]

Lý thuyết toán đi từ cái sơ khai là tiên đề. Tiên đề là các mệnh đề toán học rút ra từ thực tế hiển nhiên đúng (trong phạm vi nhất định) và không thể chứng minh. Tất nhiên không phải mọi lý thuyết điều phải có tiên đề.
Toán học là lý thuyết. Mà đã là lý thuyết thì phải có định nghĩa là cơ sở, rồi từ đó ta có tính chất, sau đó là định lý, rồi hệ quả,..
Như vậy muốn chứng minh một tính chất phải đi từ định nghĩa mà ra. Chứng minh tính chât sau thì có thể dùng định nghĩa và các tính chất trước.
Chứng minh định lý ta đi từ định nghĩa, các tính chất mà ra. Định lý sau có thể được chứng minh bằng định lý trước.
Mọi hệ thống lý thuyết muốn đứng vững trên đời thì các tính chất, định lý, hệ quả,... phải theo logic chặc chẻ như vậy. Theo logic này thì chắc bạn hiểu ý tôi nói sai là sai chổ nào rồi chứ rồi chứ!
Toán học ngày nay quá rộng. Cái thì có trước, có sau là khó xác định. Các tài liệu khác nhau trình bày theo một hệ thống có thể không giống nhau. Sách này lại dùng định lý của sách khác làm định nghĩa. Rất lộn xộn.
Bạn nên đọc sách có chọn lọc!
Chúc bạn nghiên cứu tốt!

OK, hiểu ý anh rồi, nhưng cũng k hẳn là sai mà, hic

[KajtouKid]

Ta định nghĩa rank của một ma trận là số các hàng độc lập tuyến tính của nó. Do đó, $rankA^{T}$ là số các hàng độc lập tuyến tính của $A^{T}$, tức là số các cột độc lập tuyến tính của $A$. Bài toán đưa về chứng minh số hàng độc lập tuyến tính và số cột độc lập tuyến tính cả một ma trận bằng nhau.

Gọi $r_{h}$ là số hàng độc lập tuyến tính; $r_{c}$ là số cột độc lập tuyến tính.

Nếu $r_{h}>r_{c}$, gọi $B$ là ma trận có các cột là $r_{c}$ cột độc lập tuyến tính trong $A$. Mỗi cột trong $A$ là tổ hợp tuyến tính của các cột này. Gọi $C$ là ma trận mà các cột là các hệ số ứng với phân tích các cột trong $A$ theo các cột trong $B$, tức là $A_{*i}=c_{1i}B_{*1}+c_{2i}B_{*2}+...+c_{r_{c}i}B_{*r_{c}}$

Khi đó $A=BC$

Nhưng như vậy thì các hàng của $A$ lại là tổ hợp tuyến tính của các hàng trong $C$, bởi $A_{i*}=b_{i1}C_{1*}+b_{i2}C_{2*}+...+b_{ir_{c}}C_{r_{c}*}$

Tức là không gian hàng của A có chiều bằng $rankC$: $dimR_{c}(A)=rank(C)\leq r_{c}< r_{h}$

Điều này vô lý vì không gian hàng cả A được Span bởi các hàng độc lập tuyến tính của $A$, tức là $dimR_{c}(A)=r_{h}$

 

Tương tự cũng suy ra mâu thuẫn nếu $r_{h}<r_{c}$

Vậy $r_{h}=r_{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KajtouKid: 05-09-2014 - 23:13