1 reply to this topic

[no matter what]

chứng minh với a,b, c không âm
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}$

Edited by no matter what, 13-10-2012 - 10:47.

[WhjteShadow]

chứng minh với a,b, c không âm
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{a^2}{b}+b-2a+\frac{b^2}{c}+c-2b+\frac{c^2}{a}+a-2c\geq \frac{4(a-b)^2}{a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{4(a-b)^2}{a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(c-b)^2}{c}+\frac{(a-c)^2}{a}\geq \frac{4(a-b)^2}{a+b+c}$$
Và bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng the0 $Cauchy-Schwarz$ nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ $\blacksquare$