Chủ đề này có 1 trả lời

[lollipop97]

Cho a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. CMR:
\[\left| {\frac{{a - b}}{c}{\rm{ }} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right| \le {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WWW: 17-10-2012 - 19:46

[WhjteShadow]

Cho a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. CMR:
\[\left| {\frac{{a - b}}{c}{\rm{ }} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right| \le {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\]

Bằng cảm nhận,mình dự đoán dấu bằng xảy ra khi có 1 số bằng $\frac{1}{2}$ và 1 số bằng $1$.
Mình viết lại
$$P_{(a;b;c)}=\left|\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right|$$
$$=\left|\frac{(a-b)ab+(b-c)bc+(c-a)ca}{abc}\right|=\left|\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}\right|$$
Vì đây là 1 bất đẳng thức đối xứng,nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a\geq b\geq c$.
Lúc đó $P_{(a;b;c)}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc}$
Ta sẽ chứng minh:$P_{(a;b;c)}\leq P_{(a;b;\frac{1}{2})}$.Thật vậy điều đó tương đương:
$$\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc}\leq \frac{(a-b)(b-\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})}{ab.\frac{1}{2}}$$
$$\Leftrightarrow (a-c)(b-c)\leq 2c.(b-\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})$$
Và điều này luôn đúng do $a\geq b\geq c\geq \frac{1}{2}$.
Tiếp the0 ta chứng minh $P_{(a;b;\frac{1}{2})}\leq P_{(1;b;\frac{1}{2})}$ hay là:
$$\frac{(a-b)(b-\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})}{ab.\frac{1}{2}}\leq \frac{(1-b)(b-\frac{1}{2}).\frac{1}{2}}{b.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}$$
$$\Leftrightarrow (a-b)\left(a-\frac{1}{2}\right)\leq a(1-b)$$
$$\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{2}b\leq a+\frac{1}{2}ab$$
$$\Leftrightarrow 0\leq (1-a)\left(a-\frac{1}{2}b\right)$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do $b\leq a\leq 1$.Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh:
$$P_{(1;b;\frac{1}{2})}\leq \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
$$\Leftrightarrow (1-b)\left(b-\frac{1}{2}\right)\leq b.\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
$$\Leftrightarrow 0\leq b^2-\sqrt{2}b+\frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow 0\leq \left(b-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
(Luôn đúng).Khi dấu bằng xảy ra thì $b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nằm trong $\left[\frac{1}{2};1\right]$ (thỏa mãn đề bài)
Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $(a;b;c)=\left(1;\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2}\right)$ và các hoán vị $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-10-2012 - 22:16