Chủ đề này có 1 trả lời

[henry0905]

Cho 3 số dương x,y,z, M bất kì, tam giác ABC. Chứng minh $xMA^{2}+yMB^{2}+zMC^{2}\geq \frac{xyz}{x+y+z}(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})$

[nguyenthehoan]

Cho 3 số dương x,y,z, M bất kì, tam giác ABC. Chứng minh $xMA^{2}+yMB^{2}+zMC^{2}\geq \frac{xyz}{x+y+z}(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})$

 

Không ai giải thì mình giải vậy..

 

Trên mặt phẳng tam giác ABC,lấy điểm $Q(x,y,z)$  (trong đó (x,y,z) là tâm tỉ cự của Q với hệ A,B,C)

 

Khi đó ta có 

 

$xPA^{2}+yPB^{2}+zPC^{2}=(x+y+z)PQ^{2}+\frac{xyc^{2}+yza^{2}+zxb^{2}}{x+y+z}$   (hệ thức giacobi)

 

$\Rightarrow xPA^{2}+yPB^{2}+zPC^{2} \geq \frac{xyc^{2}+yza^{2}+zxb^{2}}{x+y+z}$

 

Ta có dpcm.Đẳng thức xảy ra khi P trùng Q.