Chủ đề này có 4 trả lời

[19kvh97]

Bài 1: Cho $m,n$ nguyên dương và $m>n$. CMR

$(1+\frac{1}{m})^{m}>(1+\frac{1}{n})^{n}$

Bài 2: Đặt $S_{n}=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}$
CMR: $n<S_{n}<n+1$

[Crystal]

Bài 2: Đặt $S_{n}=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}$
CMR: $n<S_{n}<n+1$

Bài này bạn xem tại đây.

[Ke Vo Tinh]

Bài 1.
Ta có :
$$\left (1+\dfrac{1}{m}\right )^{\dfrac{m}{n}} \ge 1+\dfrac{1}{m}.\dfrac{m}{n} =1+\dfrac{1}{n}$$

[25 minutes]

Có thể kết luận là $u\left ( n \right )= \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}$ là dãy tăng bị chặn trên
Suy ra bài toán?

[sogenlun]

Bài 1: Cho $m,n$ nguyên dương và $m>n$. CMR

$(1+\frac{1}{m})^{m}>(1+\frac{1}{n})^{n}$

Ta có thể chứng minh điều sau : $n >1$ thì $(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1} > (1+\dfrac{1}{n})^n $
Thật vậy ,Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có ;

$$ 2+n =1+(1+\dfrac{1}{n})+(1+\dfrac{1}{n})+...+(1+\dfrac{1}{n}) \ge (n+1)\sqrt[n+1]{(1+\dfrac{1}{n})^n} $$
Điều này tương đương với $\dfrac{n+2}{n+1} > \sqrt[n+1]{(1+\dfrac{1}{n})^n}$
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ngoài ra dựa vào tổ hợp ta còn có :
$$2 \le (1+\dfrac{1}{n})^n < 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sogenlun: 19-10-2012 - 21:34