Chủ đề này có 3 trả lời

[ducthinh26032011]

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH

Năm học:2012-2013

Ngày thi:18.10.2012

Môn:Toán

Thời gian:180 phút

Bài 1:(4 điểm):
Tính tổng
$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}.sin^{3}\frac{x}{3^{k}}$$

Bài 2:(4 điểm)
Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa
$$(bc-a^{2})^{-1}+(ca-b^{2})^{-1}+(ab-c^{2})^{-1}=0$$
Chứng minh rằng:
$$a(bc-a^{2})^{-2}+b(ca-b^{2})^{-2}+c(ab-c^{2})^{-2}=0$$

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình sau với nghiệm nguyên dương:
$$\frac{2013}{x+y}+\frac{x}{y+2012}+\frac{y}{4025}+\frac{2012}{2013+x}=\frac{2}{z}$$

Bài 4:(5 điểm)
Thể tích của một hình hộp bằng $216$ $cm^{3}$ và diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng $216$ $cm^{2}$.Chứng minh rằng hình hộp đó là hình lập phương.(Diện tích toàn phần của hình hộp là tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Bài 5:(3 điểm)
Cho $a,b,c$ là độ dài các cạch của một tam giác;còn $x,y,z$ là độ dài các đường phân giác trong tam giác đó.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$.

--------------------------Hết-------------------------

P/s:Em làm được bài 2,bài 5 và nửa bài 3 ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 18-10-2012 - 19:38

[hxthanh]

...

Bài 1:(4 điểm):
Tính tổng
$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}.sin^{3}\frac{x}{3^{k}}$
...

Áp dụng công thức: $\sin^3 x =\dfrac{3\sin x - \sin(3x)}{4}$
Ta có:

$S_n=\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}.\left(3\sin\left(\frac{x}{3^k}\right)-\sin\left(\frac{x}{3^{k-1}}\right)\right)$

$S_n=\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(3^k\sin\left(\frac{x}{3^k}\right)-3^{k-1}\sin\left(\frac{x}{3^{k-1}}\right)\right)$

$S_n=\dfrac{1}{4}\left(3^n\sin\left(\frac{x}{3^n}\right)-\sin x\right)$

[Ke Vo Tinh]

Bài 5:(3 điểm)
Cho $a,b,c$ là độ dài các cạch của một tam giác;còn $x,y,z$ là độ dài các đường phân giác trong tam giác đó.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$.

BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{b+c}{bc\cos{\dfrac{A}{2}}}+\dfrac{c+a}{ca\cos{\dfrac{B}{2}}}+\dfrac{a+b}{ab\cos{\dfrac{C}{2}}} \right ) \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$
Đúng vì $0<\cos{\dfrac{A}{2}}, \cos{\dfrac{B}{2}}, \cos{\dfrac{C}{2}} < 1$

[duyhunter142857]

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình sau với nghiệm nguyên dương:
$$\frac{2013}{x+y}+\frac{x}{y+2012}+\frac{y}{4025}+\frac{2012}{2013+x}=\frac{2}{z}$$
Cho a=2003, b=x, c=y, d=2012. Ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{2}{z}$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi a=c và b=d hay x=2012 và y=2003
$\frac{2}{z}\leq 2$ do $z\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duyhunter142857: 24-10-2012 - 06:57