$$x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_{n})}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_{n}}}$$
#1
Đã gửi 20-10-2012 - 13:34
\end{matrix}\right.$
Tìm giới hạn của dãy số này nếu có.
- perfectstrong, robin997 và Juliel thích
#2
Đã gửi 05-06-2014 - 08:42
Bài toán: Xét dãy số $\{x_{n} \}_{0}^{\infty}:\left\{\begin{matrix}0<a;b<4 \\ x_0=a;x_1=b\\ x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_{n})}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_{n}}}
\end{matrix}\right.$
Tìm giới hạn của dãy số này nếu có.
Xét dãy số phụ $(x_n)$ như sau :
$$\left\{\begin{matrix} x_0=min\left \{ a,b \right \}\\ x_{n+1}=2\sqrt{x_n} \end{matrix}\right.$$
Bằng quy nạp ta được :
$$0< x_n< 4,\;\forall n\in \mathbb{N}$$
Từ đó $x_{n+1}-x_n=\sqrt{x_n}(2-\sqrt{x_n})> 0$ nên dãy $(x_n)$ tăng. Kết hợp với việc $(x_n)$ bị chặn trên ta suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn $L$ của nó. Giải phương trình giới hạn ta được $L\in \left \{ 0,4 \right \}$.
Nhưng để ý thì thấy :
$$0<x_0<x_1<....<x_n<....$$
Nên phải có $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=4$
Ta có $a_0,a_1 \in (0,4)$, giả sử rằng $a_{n},a_{n+1} \in (0,4)$. Ta có :
$$a_{n+2}=\dfrac{2(a_{n+1}+a_n)}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}< \dfrac{2\left ( 2\sqrt{a_{n+1}}+2\sqrt{a_n} \right )}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=4$$
Theo nguyên lí quy nạp ta được $a_n$ bị chặn trên bởi $4$. Do dãy phụ $x_n\rightarrow 4$ nên ý tưởng của ta ở đây là sử dụng nguyên lí kẹp với :
$$x_n\leq a_n< 4$$
Ta sẽ chứng minh :
$$x_n\leq min\left \{ a_{2n},a_{2n+1} \right \},\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;(*)$$
Với $n=0$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng. Gỉa sử có $(*)$. Xét với $n+1$ :
Sử dụng BĐT quen thuộc $2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2$ ta được :
$$a_{2n+2}=\dfrac{2\left ( a_{2n+1}+a_{2n} \right )}{\sqrt{a_{2n+1}}+\sqrt{a_{2n}}}\geq \sqrt{a_{2n+1}}+\sqrt{a_{2n}}\geq 2\sqrt{x_n}=x_{n+1}$$
$$a_{2n+3}=\dfrac{2\left ( a_{2n+2}+a_{2n+1} \right )}{\sqrt{a_{2n+2}}+\sqrt{a_{2n+1}}}\geq \sqrt{a_{2n+2}}+\sqrt{a_{2n+1}}\geq \sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_n}\geq 2\sqrt{x_n}=x_{n+1}$$
Vậy nên $(*)$ cũng đúng với $n+1$. Theo nguyên lí quy nạp thì $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.
Ta được :
$$x_n\leq min\left \{ a_{2n},a_{2n+1} \right \}\leq max\left \{ a_{2n},a_{2n+1} \right \}< 4$$
Theo nguyên lí kẹp ta được hai dãy $(a_{2n}),(a_{2n+1})$ hội tụ về $4$. Suy ra $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}a_n=4$
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số 10, perfecstrong, robin997, kiên
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\sum_{cyc}\frac{1}{(3a-b)^2} \ge \frac{k}{a^2+b^2+c^2}$$Bắt đầu bởi dark templar, 11-11-2012 ws, kiên, tham lang, and vmfers |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\frac{xy}{[(z-xy)(x+y)]^{x+y}}+.... \ge \frac{3}{16}$$Bắt đầu bởi dark templar, 11-11-2012 ws, kiên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$$S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{F_{2k+1}}{L_{k}L_{k+1}L_{k+2}}$$Bắt đầu bởi dark templar, 07-11-2012 hxthanh, perfecstrong, and vmfers |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$$3^{\frac{F_{m}-1}{2}} \equiv -1(\mod F_{m})$$Bắt đầu bởi dark templar, 03-11-2012 hxthanh, nguyenta98, perfecstrong |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$$a_{n+1}=a_{n}+\left \lfloor \sqrt{a_{n}} \right \rfloor$$Bắt đầu bởi dark templar, 18-10-2012 dãy số 9, hxthanh, perfecstrong |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh