Chủ đề này có 2 trả lời

[Joker9999]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a+b+c>0.
Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{3b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{3c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$
---------------------------
Không đặt tiêu đề quá dài bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2012 - 12:18

[Secrets In Inequalities VP]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a+b+c>0.
Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{3b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{3c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$
---------------------------
Không đặt tiêu đề quá dài bạn nhé

Ta sẽ CM : $\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\leq \frac{a}{2(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow 2a(a+b+c)\leq 3a^2+(b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2a^2+2ab+2ac\leq 3a^2+b^2+c^2+2bc$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2ab-2ac\geq 0$
$\Leftrightarrow (b+c-a)^2\geq 0$.Luôn đúng .
Tương tư có 2 bđt nua rồi cộng vào $\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 24-10-2012 - 19:38

[Nguyenhuyen_AG]

Ta sẽ CM : $\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\leq \frac{a}{2(a+b+c)}$

Nếu $a=0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng, xét $a>0.$ Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}=\frac{a^2}{2a^2+\left [a^2+(b+c)^2 \right ]}\leq \frac{a^2}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{a}{2(a+b+c)}.$$