Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Bộ bài tây $52$ lá được sắp một cách ngẫu nhiên thành $13$ cột và $4$ dòng. Lật ngữa quân bài.

Thầy Hoàng Xuân Thanh nói với thầy Hoàng Ngọc Thế:

" Bây giờ tôi cho thầy sắp bài tuỳ ý ; miễn là theo cách trên ; sau đó sẽ thực hiện các bước; mỗi bước tôi chuyển vị trí của $2$ con bài có chung phần số. Ví dụ: $2$ bích đổi chỗ $2$ cơ ; $\mathcal{K}$ rô đổi chỗ $\mathcal{K}$ nhép..... Và sau một hữu hạn các bước thì mỗi cột sẽ có đủ $4$ chất cơ - rô - nhép -bích."

Thầy Thế cho là thầy Thanh bốc phét và đánh cuộc 500K .

Theo các bạn; ai sẽ là người thắng trong trò này?

[E. Galois]

Thầy Thanh thấy thương thầy Thế vì thầy Thế sẽ thua trong trò này. Do vậy thầy Thanh nói với thầy Thế:

- Thầy cứ nghe tôi phân tích đã rồi hẵng đặt cược.

Thầy Thanh bắt đầu nói: Tôi hoàn toàn có thể mỗi cột sẽ có đủ 4 chất cơ - rô - nhép -bích sau một số hữu hạn bước theo cách như sau:

Tôi đánh số các cột theo thứ tự từ trái qua phải là $1,2,3,...13$

 

Bước 1: Nếu cột $1$ đã có đủ $4$ chất cơ, rô, bích, nhép thì xong.

 

Nếu không, cột $1$ tồn tại ít nhất $2$ quân bài cùng chất. Không giảm tổng quát, giả sử cột $1$ thừa chất cơ. Ta đổi vị trí các quân bài ở cột $1$ với các cột khác cho đến khi cột $1$ chỉ còn $1$ quân bài chất cơ. Dễ thấy việc này là hoàn toàn làm được. Ta hãy làm như vậy cho đến khi cột $1$ có đủ $4$ chất. Ta tạm gọi việc này là hoàn thành cột $1$ (diễn ra sau nhiều nhất $4$ bước, mỗi bước di chuyển 1 quân bài).

 

Bước 2: Ta lần lược thực hiện lại công việc như bước $1$ tại cột $2,3,...,13$ theo nguyên tắc, để hoàn thành cột $k$, $k > 1$, ta ưu tiên đổi các quân bài ở cột $k$ với các quân bài ở các cột $k+1,k+2,...,13$. Giả sử đã hoàn thành xong các cột $1,2,..,k-1$

 

Nếu quân bài cần đổi ở cột $k$ nằm ở $1$ trong các cột $k+1,k+2,...,13$ thì việc hoàn thành cột $k$ được diễn ra sau nhiều nhất $4$ bước, mỗi bước di chuyển 1 quân bài.

 

Bây giờ ta xét trường hợp quân bài cần đổi ở cột $k$ không nằm ở $1$ trong các cột $k+1,k+2,...,13$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử cột $k$ thừa chất cơ, chẳng hạn có $2$ cơ và $3$ cơ (có thể có $4$ quân cơ thì cũng làm tương tự) và thiếu chất bích, hơn nữa, các quân bài $2$ cơ, $2$ bích lại đang ở đâu đó trong các cột $1,2,...k-1$.

 

Ta đổi quân $2$ cơ ở cột $k$ với quân $2$ bích ở cột $m, (1 \leq m <k)$. Dễ thấy cách làm như vậy sẽ hoàn thành cột $k$, nhưng lại đưa cột $m$ về trạng thái giống như của cột $k$  trước đó, tức là thừa chất cơ, thiếu chất bích.

 

Không giảm tổng quát, giả sử ngoài $2$ cơ, cột $m$ có thêm $4$ cơ. Ta lại thực hiện lại các bước ở trên. (Về bản chất, công việc này là đổi một quân bài chất cơ lấy 1 quân bài chất bích).

 

Việc này chỉ có thể kéo dài tối đa $k$ bước, do ở $k-1$ cột trước đó, chỉ có đúng $k-1$ quân bích và $k-1$ quân cơ. Vì vậy, đến bước $k$, ta sẽ phải đổi đến quân bích ở một trong các cột $k+1, k+2, ..., 13$. Như vậy ta hoàn thành được cột $k$

 

Thầy Thế gật gù. May quá, thầy Thanh rộng lượng, không lấy tiền của mình. 

 

Lộc đại ca ơi

E.Galois nghĩ là có cách trình bày ngắn gọn và khoa học hơn cho bài này