11 replies to this topic

[hmtri147]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CM :$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Edited by hmtri147, 02-11-2012 - 05:29.

[tim1nuathatlac]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CM :$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có đánh giá sau: $\frac{2\sqrt{3}}{3}a\left ( b^{2}+c^{2} \right )\leq \left ( a^{2}+\frac{1}{3} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\leq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3} \right )^{2}}{4}=\frac{4}{9}$

Tương tự với $\frac{2\sqrt{3}}{3}b\left ( c^{2}+a^{2} \right )$ và $\frac{2\sqrt{3}}{3}c\left ( b^{2}+a^{2} \right )$

Từ đánh giá trên $\frac{VT}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\sum \frac{a^{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}\geq \frac{\sum a^{2}}{\frac{4}{9}}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow VT=\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\square$

Cách 2 Hãy chứng minh $\frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$

Edited by tim1nuathatlac, 02-11-2012 - 13:02.

[tramyvodoi]

cách tìm đc cách 2 là dùng phương pháp tiếp tuyến. và nếu không có phương pháp tiếp tuyến, thì dường như không thể nghĩ ra cách 2

[NLT]

cách tìm đc cách 2 là dùng phương pháp tiếp tuyến. và nếu không có phương pháp tiếp tuyến, thì dường như không thể nghĩ ra cách 2

Cũng không hẳn bạn à

Để ý $b^2+c^2=1-a^2$ nên có thể chuyển biểu thức về dạng $A=\sum {\frac{a}{{1 - a^2 }}} $.
Vì đề cho $a^2+b^2+c^2=1$ và $A$ có thể viết lại là $A=f(a)+f(b)+f\left (c \right )$ với $f(x)=\frac{a}{1-a^2}$
Nên ta nghĩ được rằng phải tìm hệ số $\alpha$ thỏa mãn: $\frac{a}{{1 - a^2 }} \ge \alpha a^2 $
Dự đoán điểm rơi tại $a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}$, ta có thể dễ dàng tìm ra $\alpha$ và từ đó có ngay Lời giải 2 !
___
NLT

Edited by Nguyen Lam Thinh, 04-11-2012 - 07:32.

[tramyvodoi]

nhưng làm bằng tiếp tuyến thì chắc chắm hơn

Edited by tramyvodoi, 04-11-2012 - 09:19.

[dark templar]

nhưng làm bằng tiếp tuyến thì chắc chắm hơn

Nhưng BĐT mà bạn nói thì lại được suy ra trực tiếp từ AM-GM,việc xài tiếp tuyến thì bạn phải kiểm tra xem $f''(x)>0$ hay không.Dưới đây là một số biến đổi:
$$\frac{a}{1-a^2}=\sqrt{\frac{a^2}{(1-a^2)^2}}=\sqrt{\frac{2a^4}{2a^2(1-a^2)^2}}$$
Theo AM-GM:
$$2a^2(1-a^2)^2 \le \left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3} \right)^3=\frac{8}{27}$$
Suy ra:
$$\frac{a}{1-a^2} \ge \sqrt{\frac{2a^4}{\frac{8}{27}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$
Thực tế rằng đôi khi sử dụng pp tiếp tuyến lại có thể thay thế bằng 1 số thủ thuật biến đổi khéo léo để sử dụng BĐT cổ điển.
P/s:Bạn nói không có biết tiếp tuyến thì dường như không thể nghĩ nỗi là hơi quá đấy

[Mai Xuan Son]

nhưng làm bằng tiếp tuyến thì chắc chắm hơn

Ta thấy ngay $a^2+b^2+c^2=1$ thì có thể nhân với VP
Bđt trở thành
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{1-a^2}\geq \sum _{a,b,c}\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
p/s: phương trình tiếp tuyến là phương trình bậc nhất 1 ẩn ^^

[longqnh]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CM :$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

có thể giải bằng phép lượng giác hóa như sau:
Đặt
\[\left\{ \begin{array}{l}
a = \tan \frac{X}{2} \\
b = \tan \frac{Y}{2} \\
c = \tan \frac{Z}{2} \\
\end{array} \right.\]
BĐT cần chứng minh được viết lại thành $tanX+tanY+tanZ \geq 3\sqrt{3}$
đây là 1 bđt lượng giác quen thuộc

[dark templar]

có thể giải bằng phép lượng giác hóa như sau:
Đặt
\[\left\{ \begin{array}{l}
a = \tan \frac{X}{2} \\
b = \tan \frac{Y}{2} \\
c = \tan \frac{Z}{2} \\
\end{array} \right.\]
BĐT cần chứng minh được viết lại thành $tanX+tanY+tanZ \geq 3\sqrt{3}$
đây là 1 bđt lượng giác quen thuộc

Làm gì có phép lượng giác kiểu này hả bạn ? Đặt như bạn thì $X,Y,Z$ đâu có mối quan hệ nào ??
P/s:Nếu giả thuyết là $ab+bc+ca=1$ thì đặt như bạn sẽ chính xác.

[Mai Xuan Son]

Làm gì có phép lượng giác kiểu này hả bạn ? Đặt như bạn thì $X,Y,Z$ đâu có mối quan hệ nào ??
P/s:Nếu giả thuyết là $ab+bc+ca=1$ thì đặt như bạn sẽ chính xác.

anh ơi nếu có đk $ab+bc+ca=1$ thì phải đặt theo $cot$ chớ

Edited by tops2liz, 05-11-2012 - 19:04.

[dark templar]

anh ơi nếu có đk $ab+bc+ca=1$ thì phải đặt theo $cot$ chớ

Đặt theo $\cot$ thì là $x=\cot{A};y=\cot{B};z=\cot{C}$.Ghi nhớ đẳng thức:$\sum_{cyc}\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1$

[Mai Xuan Son]

Đặt theo $\cot$ thì là $x=\cot{A};y=\cot{B};z=\cot{C}$.Ghi nhớ đẳng thức:$\sum_{cyc}\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1$

à à à ^^