Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{ab}{\sqrt{b+c}}+\frac{bc}{\sqrt{c+a}}+\frac{ca}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2\sqrt{2}}$$
Một bài toán hay sử dụng bổ đề $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$ với $a+b+c=3$:
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{b+c}{2\sqrt{2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{6-b-c}{4\sqrt{2}}\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{ab(6-b-c)}{4\sqrt{2}}$$
Tương tự và cộng lại ta cần chứng minh:
$$6(ab+bc+ca)+4-3abc-(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 2(a+b)(b+c)(c+a)$$
$$\Leftrightarrow 6(ab+bc+ca)+4-3abc-(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 2[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc]$$
$$\Leftrightarrow 6(ab+bc+ca)+4-3abc-(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 6(ab+bc+ca)-2abc$$
$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$$
Bổ đề quen thuộc đã được nêu ở trên
Bạn nào chưa biết có thể xem thêm tại đây.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-11-2012 - 11:20