Cho $p, q, r$ là các số nguyên tố phân biệt và $$A=\{ p^aq^br^c: 0\leq a,b,c \leq5 \}$$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên $n$ thỏa mọi tập con $n$ phần tử của tập $A$ chứa $2$ phần tử $x,y$ thỏa mãn $x\neq y$ và $y | x$.
___
NLT
Giả sử $B$ là tập con của $A$ chứa nhiều phần tử nhất mà $2$ phần tử phân biệt bất kỳ $u,v$ thuộc $B$ ($u< v$) đều thỏa mãn $u$ không là ước của $v$.Gọi số phần tử của $B$ là $m$.Ta tìm $m$.
Giả sử $u=p^{a_1}q^{b_1}r^{c_1}$ ; $v=p^{a_2}q^{b_2}r^{c_2}$ ($0\leqslant a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\leqslant 5$)
Xét $3$ mệnh đề :
$a_1\leqslant a_2$ ; $b_1\leqslant b_2$ ; $c_1\leqslant c_2$
Nhận xét $u$ không là ước của $v$ khi và chỉ khi trong $3$ mệnh đề trên, có đúng $1$ hoặc $2$ mệnh đề sai (dĩ nhiên 3 mệnh đề không thể cùng sai vì $u< v$) và dấu $<$ xảy ra ở ít nhất $1$ mệnh đề (tức là có ít nhất 1 dấu $>$ và 1 dấu $<$)
$\Rightarrow m$ là số nghiệm nguyên không âm lớn nhất có thể có (khi $k$ thay đổi) của phương trình :
$a+b+c=k$ (với ĐK $0\leqslant a,b,c\leqslant 5$ và $k$ là số tự nhiên thay đổi)
Dễ thấy rằng $m=27$ (khi $k=7$ và $k=8$)
$\Rightarrow$ giá trị nhỏ nhất của $n$ cần tìm là $28$.